1679
правок
Изменения
спааать
Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.
Метрические пространства удовлетворяют свойству нормальности:
{{Утверждение
|id=msnorm
|about=
нормальность МП
|statement=
Любое МП - нормальное, то есть любые два непересекающихся замкнутых подмножества имеют непересекающиеся окрестности.
|proof=
(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее)
$ f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} $. Т.к. $ F_1 \cap F_2 = \varnothing $ и $ F_1, F_2 $ - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, $ f(x) $ корректна и непрерывна в силу непрерывности $ \rho $. При этом: $ x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 $. Рассмотрим на R пару интервалов: $ (- \infty; \frac 1 3) $ и $ (\frac 1 2, + \infty) $. Т.к. $ f(x) $ неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).
: $ G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) $
: $ F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing $, ч.т.д.
}}
Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами. (TODO: вообще в аксиоме говорится про окрестности, а не шары, важно ли это?)
Классификация Бэра:
$A$ '''всюду плотно''' в $(X, \rho)$, если $\mathrm{Cl} A = X$
: Например, $\mathbb{Q}$ всюду плотно в $\mathbb{R}$, так как $\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}$ (TODO:ох, что бы это значило)
Если всюду плотное множество счетно, то пространство называют '''сепарабельным'''.
$A$ '''нигде не плотно''' в $(X, \rho)$, если $\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \emptyset$. В смысле метрических пространств это значит, что в любом шаре есть шар, не содержащий точек $A$.
: Например, $\mathbb{Z}$ нигде не плотно в $\mathbb{R}$.
$A$ имеет '''I категорию по Бэру''' если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.
{{Определение
|id=defmscompl
|definition=
МП $(X, \rho)$ называется '''полным''', если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится.
}}
{{Утверждение
|about=
принцип вложенных шаров
|statement=
Пусть $(X, \rho)$ — полное. $\overline V_n$ — замкнутые шары. $\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n$, $r_n \to 0$. Тогда $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset$, и является точкой.
|proof=
Пусть $a_n$ — центр соответствующего шара, тогда из вложенности $\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n$, то есть последовательность центров сходится в себе, так как $r_n \to 0$. Тогда по полноте последовательность центров сходится к $a$, множество $\{a\}$ и есть искомое перечечение.
TODO: интересно, а почему важна замкнутость?
}}
</wikitex>
