1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Продолжаем так же для $Y_3 \dots Y_n \dots$. Процесс никогда не завершится, так как $X$ — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в $S_1$, но из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как $\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}$, следовательно, $S_1$ не компактно.
}}
В Гильбертовых пространствах важно понятие ортонормированной системы точек: $e_1 \dots e_n \dots \in H, \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$.
Рассмотрим для точки $x \in H$ абстрактный ряд Фурье $\sum_{i=1}^{\infty} \langle x, e_i \rangle e_i$, $\langle x, e_i\rangle$ называют абстрактными коэффициентами Фурье.
$T_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in \mathcal{L}(e_1 \dots e_n) = H_n$
Теорема: $\forall x \in H \rho(x, H_n) = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| $. TODO: найти доказательство, где-то было оно
{{Теорема
|author=
Бессель
|about=
неравенство Бесселя
|statement=
$ \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2 \le \|x\|^2$
|proof=
Для некоторого набора коэффициентов $ \beta_k $ рассмотрим скалярное произведение:
$ 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k, x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x, l_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = $
$ = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, l_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, l_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n(x, l_k)^2 $.
Теперь, пусть $ \beta_k = (x, l_k) $, имеем $ 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, l_k)^2 $, устремив $ n $ к бесконечности, получим требуемое.
}}
Интересно рассмотреть, когда для всех $x$ неравенство превращается в равенство.
{{Теорема
|about=
TODO равенство Парсеваля вроде?
|statement=
В неравенстве Бесселя для любого $x$ будет равенство тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая. TODO: пшшш, что-то неразборчивое
|proof=
???
}}
{{Теорема
|author=Рисс-Фишер
|statement=
Пусть $\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}$ - ортонормированная система в гильбертовом пространстве $H$, $\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty<$. Тогда $\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle$ и выполняется '''равенство Парсеваля''': $\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2$ TODO: что-то не понял, откуда альфы берутся, ряд типа нам дают, а мы уже по нему точку строим?
|proof=
???
}}
TODO: далее идет что-то бредовое
Вопрос: какое топологическое свойство характеризует существование базиса: замкнутость ОНС? Достаточно требовать, чтобы $H$ было сепарабельным: $\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H$ — счетное всюду плотное.
$\mathrm{Cl}\mathcal{L}(a_1 \dots a_n \dots) = H$, следовательно, надо превратить в ОНС, чтобы линейная оболочка совпала. ОНС строится процедурой Грама-Шмидта.
Ссылочки:
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product Dot product]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Sequence_space Sequence space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Riesz's_lemma Riesz's lemma]
</wikitex>
