Изменения

Рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>. * <tex> f(t) </tex> возрастает при <tex> t \in (-1, \infty) </tex>, поэтому, если <tex> -1 < t_1 < t_2 </tex>, <tex> f(t_1) < f(t_2) </tex>. Также * <tex>f</tex> выпукла вверх на том же промежутке: <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>.Так как <tex> |x - z| \le |x - y| + |y - z| </tex> по свойствам <tex> | \cdot | </tex>.По показаному выше: и <tex>f</tex> возрастает, то <tex> f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)</tex>. Из свойств [[Модуль_непрерывности_функции | модуля непрерывности]] имеем <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, тогда <tex>f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|) </tex>. Первый переход сделан по возрастаннию , то есть получили <tex> f(t|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|) </tex>, второй -- по выпуклости вверх.