Изменения

Пару <tex>(X, \tau)</tex> называют '''топологическим пространством'''. Множества, принадлежащие <tex>\tau</tex> , называются '''открытыми'''. (по Хаусдорфу ???). '''Замкнутыми''' называются множества-дополнения к множествам из <tex>\tau</tex>.

Точка <tex>x</tex> называется '''пределом последовательности <tex>x_n</tex> в топологическом пространстве''' <tex>(X, \tau)</tex>, если <tex>\forall G \ni x \ \exists N \ \forall n > N: x_n \in G</tex>, то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.

Характеристика непрерывных отображений ТП: <tex>f</tex> непрерывно тогда и только тогда, когда если для любого <tex>G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1</tex>, то есть прообраз любого открытого множества также открыт. (TODO: в <ref>В конспекте только в прямую сторону, но вообще , вроде , это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107).</ref>

Для любого МП <tex>(X, \rho)</tex> можно ввести '''метрическую топологию''' : выделим в семейство открытых множеств <tex>\tau</tex> множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:# Очевидно (видимо, <tex>X = \bigcup\limits_{x \in X}\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)</tex>, где <tex>x</tex> — любая точка <tex>X</tex> если оно непустое, а если пустое, то просто не будем брать ни одного множества).# Очевидно (если считать очевидным факт, что несчетное объединение несчетных множеств есть несчетное множество. Понятно, что счетным оно быть не может, но неясно как выб)# Докажем для пересечения двухмножеств, дальше по индукции:

'''Базой топологии''' называют... TODO пщщ в конспекте какая-некоторый набор открытых множеств <tex>\sigma</tex>, такой, что <tex> \forall G \in \tau:\ G = \bigcup\limits_{V \in \sigma} V </tex>, то хреньесть, кажется нет определения и только одно любое непустое открытое множество можно представить в виде объединения множеств из двух свойство<tex>\sigma</tex>.

TODOПусть <tex>f(x) = \rho(x, A)</tex>. Сначала убедимся в том, что <tex>f(x)</tex> равномерно непрерывна: какое-то странное вспомогательное утверждение про непрерывность

TODO<tex>\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)</tex> <tex>\rho(x_1, A) \le \rho(x_1, a), \forall \varepsilon > 0\ \exists a_\varepsilon \in A: \rho(x_2, a_\varepsilon) < \rho(x_2, A) + \varepsilon</tex> Значит, <tex>\rho(x_1, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, A) + \varepsilon</tex>. Аналогично, <tex>\rho(x_2, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_1, A) + \varepsilon</tex>. Отсюда, <tex>|\rho(x_1, A) - \rho(x_2, A)| < \rho(x_1, x_2) + \varepsilon</tex>, устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем равномерную непрерывность <tex>f</tex>. Обозначим <tex>B = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>. Понятно, что если некоторая последовательность <tex>x_n \in B</tex> сходится к <tex>x</tex>, то <tex>\rho(x_n, A) = 0</tex>, и <tex>\rho(x, A) = 0</tex>, то есть, по определению <tex>B</tex>, <tex>x \in B</tex>. Значит, <tex>B = \mathrm{Cl} B</tex>, <tex>B</tex> замкнуто. Если <tex>a \in A</tex>, то <tex>\rho(a, A) = 0</tex> и <tex>a \in B</tex>. Значит, <tex>\mathrm{Cl} A \subset B</tex>. Теперь покажем, что для произвольного замкнутого <tex>F, A \subset F</tex>, выполняется <tex>B \subset F</tex>. Допустим, это неверно, и <tex>\exists b \in B: аааb \notin F</tex>, тогда <tex>x \in X \setminus F = G = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(x_\alpha)</tex>. Значит, <tex> x \in V_r(b) \subset X \setminus F</tex>. <tex>b \in B, \rho(b, A) = 0</tex>, следовательно, есть последовательность <tex>a_n \in A: \rho(b, a_n) \to 0</tex>. Начиная с некоторого <tex>N</tex>, <tex>\rho(b, a_n) < r</tex>, и <tex>a_n \in V_r(b)</tex>, ниче не понятно<tex>A \cap V_r(b)</tex> непусто. Кажется Но <tex>A \subset F \Rightarrow A \cap G = \varnothing</tex> {{---}} противоречие, доказательство через включение в обе стороны<tex>B \subset F</tex>.

Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами. (TODO: вообще в аксиоме говорится про окрестности, а не шары, важно ли это?)

: Например, <tex>\mathbb{Q}</tex> всюду плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>, так как <tex>\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}</tex> (TODO:ох, что бы это значило. Видимо, что множество действительных чисел строится включением пределов последовательностей рациональных.)

Пусть <tex>X</tex> — полное и является множеством I категории, то есть представимо как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n</tex>, где <tex>M_n</tex> — нигде не плотно в <tex>X</tex>. Возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_0</tex>, например, радиуса 1. Как Так как <tex>M_1</tex> нигде не плотно в <tex>X</tex>, оно также нигде не плотно в <tex>\overline V_0</tex>, а, значит, существует замкнутый шар <tex>\overline V_1</tex> радиуса меньше <tex>1 \over 2</tex>, содержащийся в <tex>\overline V_0</tex> и не пересекающийся с <tex>M_1</tex> (<tex>M_1 \cap \overline V_1 = \emptyset</tex>). Аналогично, <tex>M_2</tex> нигде не плотно в <tex>\overline V_1</tex>, и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров (<tex>\overline V_{n+1} \subset \overline V_n</tex>) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку <tex>x</tex>, но эта точка не может лежать ни в одном из множеств <tex>M_n</tex> по построению, то есть , получили противоречие , и <tex>X</tex> не является множеством первой категории.

Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси. (TODO: Што? Как?)

на лекции не было, видимо, было на 1 курсе тут [[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях]]

{{Утверждение|statement=Пример: <tex>R^{\infty}</tex> — полное, так как метрика индуцирует покоординатную сходимость. |proof={{TODO: пшшш какая-то хрень про диагональ Кантора.|t=упражнение}}}}

* По выбору <tex>\varepsilon</tex>: <tex>\forall x' \in \Pi \ \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) < \varepsilon</tex>.* По определению <tex>\varepsilon</tex>-сети для <tex>A</tex>: <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) < \varepsilon</tex>.* По построению <tex>A'</tex> и выбору <tex>\varepsilon</tex>, <tex>\forall a \in A \ \exists a' \in A': \rho(a, a') < \varepsilon</tex>.

Таким образом, <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \forall x' \in \Pi \ \exists a' \in A': \rho(x', a') \le \rho(x', x) + \rho(x, a) + \rho(a, a') \le 3 \varepsilon</tex>, то есть построили конечную <tex>3\varepsilon</tex>-сеть.

TODO: пшшш какаяА еще зачем-то хрень про можно рассмотреть для пространства с мерой на сигма-алгебрыалгебре <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex> пространство измеримых на <tex> E \in \mathcal A </tex> вещественнозначных функций. Короче, вводится метрика Если ввести на нем метрику <tex>\rho(f, g) = \int\limits_E {|f - g| \over 1 + |f - g|} d \mu</tex>, то сходимость последовательности функций в такой метрике сходимость ней будет равносильна сходимости по мере.