== Неравенство Маркова ==
<nowiki>{{Определение |definition = Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.</nowiki>}}
== Формулировка ==
Пусть случайная величина <math>X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+</math> определена на вероятностном пространстве (<math>\Omega</math>, <math>F</math>, <math>\mathbb R</math>), и ее математическое ожидание <math> \mathbb E\mathrm |\xi|<\mathcal {1}</math>. Тогда
<math>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \ge x)\le \frac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </math>
== Доказательство ==
== Доказательство ==Возьмем для доказательства следующее понятие:
Возьмем для доказательства следующее понятие: Пусть <math> A</math> - некоторое событие. Назовем индикатором события <math>A</math> случайную величину <math>I</math>, равную единице если событие <math>A</math> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <math>I(A)</math> имеет распределение Бернулли с параметром <math> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</math>, и ее математическое ожидание равно вероятности успеха <math> p = \mathbb P\mathrm (A) </math>. Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <math>I(A) + I(\overline A) = 1</math>. Поэтому
<math>|\xi|=|\xi|*I(|\xi|<x)+|\xi|*I(|\xi|\ge x)\ge |\xi|*I(|\xi|\ge x)\ge x*I(|\xi| \ge x)</math>.
Тогда
<math>\mathbb E\mathrm |\xi|\ge \mathbb E\mathrm(x*I(|\xi|\ge x)) = x*\mathbb P\mathrm (|\xi|\ge x)</math>.
Разделим обе части на <math>x</math>:
<math> \mathbb P\mathrm(|\xi| \ge x)\le \frac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </math>
== Примеры ==
Ученики в среднем опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 минут и более? Дать грубую оценку сверху.
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi|\ge 15)\le 3/15 = 0.2</math>
== Неравенство Чебышева ==
{{Определение |definition = Неравенство Чебышева является следствием Неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического
ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.
}}
== Формулировка ==
Если <math>\mathbb E\mathrm \xi^2<\mathcal 1</math>, то <math>\forall x > 0</math> будет выполнено
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \ge x) \le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{\xi^2}</math>
== Доказательство ==
Для <math>x>0</math> неравенство <math>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x</math> равносильно неравенству <math>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2</math>, поэтому
<math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2 ) \le \frac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</math>
== Следствие ==
Как следствие получим так называемое "правило трех сигм",которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала. Рассмотрим такое утверждение: Если <math>\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</math>, то <math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \le 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\ge \frac {1}{9}</math>.
Доказательство: Согласно неравенству Чебышева <math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\le 3\sqrt(\mathbb D\mathrm \xi)\ge \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt(\mathbb D\mathrm \xi))^2}</math> Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем <math>\frac {1}{9}</math>
