Изменения

'''Скалярным произведением''' в действительном линейном пространстве <tex>X</tex> называется функция $<tex>\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{R} X \times \mathbb{R} X \to \mathbb{R}$</tex>, удовлетворяющяя удовлетворяющая следующим аксиомам:# $<tex>\langle x, x \rangle \ge 0$ </tex> и $<tex>\langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow iff x = 0$</tex># $<tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$</tex># $<tex>\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle$</tex>Пару из линейного пространства и скалярного произведения на нем называют '''евклидовым пространством''' TODO (в конспекте почему-то : унитарное, но унитарное — это же комплексное(пространство)

* $<tex>X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k$</tex>* $<tex>X = \ell_2$</tex>, то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится ($<tex>x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 < + \infty$</tex>). $<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i$</tex>, сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны [[Нормированные пространства#Пространство последовательностей | тут]].

В УП выполняется [[Нормированные пространства#Гильбертовы пространства | неравенство Шварца]] : $<tex>|\langle x, y\rangle| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}$</tex>

УП — частный случай [[Нормированные пространства | нормированных пространств]]: можно ввести норму как $<tex>\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$</tex>, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется.

Для нормы, порожденной скалярным произведением выполняется '''равенство параллелограмма''': $<tex>\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2$</tex>.

{{Теорема|statement=Пусть $<tex>M$ </tex> — выпуклое замкнутое множество в $<tex>H$</tex>, тогда $<tex>\forall x \in H \ \exists z \in M: \| x - z \| = \inf\limits_{y \in M} \| x - y\|$</tex>. $<tex>z$ </tex> называется '''элементом наилучшего приближени приближения'''|proof=[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах]]}} {{Определение|definition=Говорят, что два элемента <tex> x, y </tex> гильбертова пространства <tex> H </tex> '''перпендикулярны''' (док-во в прошлом семестре<tex> x \perp y </tex>), если <tex> \langle x, y \rangle = 0.</tex>}}

Пусть $<tex>H_1$ </tex> — подпространство в $<tex>H$</tex>, тогда '''ортогональным дополнением''' называется $<tex>H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}$</tex>.

TODO{{Теорема|statement=Пусть <tex> H_1 </tex> — подпространство в <tex>H</tex>, <tex> H_2 </tex> {{---}} его ортогональное дополнение. Тогда для любого <tex> x \in H </tex> существует единственное представление <tex> x = x_1 + x_2 </tex>, где <tex> x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 </tex> и <tex> x_1 \perp x_2 </tex>.|proof=Доказательство из [http://www.apmath.spbu.ru/ru/education/final/question07.pdf] Положим <tex>d = \rho(x, H_1)</tex>, <tex>d_n=d+\frac1n</tex> и для каждого <tex>n\in\mathbb{N}</tex> найдём <tex>x_n \in H_1</tex> такой, что <tex>\|x-x_n\|<d_n</tex>.  По равенству параллелограмма, <tex>\|2x-(x_n+x_m)\|^2+\|x_m-x_n\|^2 = 2(\|x-x_n\|^2+\|x_m-x\|^2)</tex>. Так как <tex>\frac{x_n+x_m}{2}\in H_1</tex>, то <tex>\|x-\frac{x_n+x_m}2\|\ge d</tex> или <tex>\|2x-(x_n+x_m)\|^2\ge 4d^2</tex>. Тогда получаем, что <tex>\|x_m-x_n\|^2\le2(d_n^2+d_m^2)-4d^2</tex>. Но <tex>d_n, d_m \to d</tex>, и потому <tex>\|x_m-x_n\|_{n,m\to\infty}\to0</tex>, то есть, последовательность <tex>\{x_n\}</tex> {{---}} фундаментальная. Вследствие полноты <tex>H</tex>, существует <tex>x'=\lim x_n</tex>, а так как множество <tex>H_1</tex> замкнуто (по определению подпространства), то <tex>x'\in H_1</tex>. При этом <tex>\|x-x'\|=\lim \|x-x_n\|</tex> и из <tex>\|x-x_n\|\le d_n</tex> следует, что <tex>\|x-x'\|\le d</tex>. Но так как знак «меньше» невозможен, то <tex>\|x-x'\|=d</tex>.  Теперь положим <tex>x''=x-x'</tex> и покажем, что <tex>x''\in H_2</tex>, то есть, <tex>x'' \perp H_1</tex>. Возьмём <tex>y\in H_1\setminus \{0\}</tex>. При любом <tex>\lambda</tex> имеем <tex>x'+\lambda y \in H_1</tex>, так что <tex>\|x''-\lambda y\|^2=\|x-(x'+\lambda y)\|^2 \ge d^2</tex>, что можно, воспользовавшись <tex>\|x-x'\|=d</tex>, переписать в форме: <tex>-\lambda \langle x'',y\rangle-\lambda\langle y,x''\rangle +|\lambda|^2\langle y,y\rangle \ge 0</tex>. В частности, при <tex>\lambda=\frac{\langle x'',y\rangle }{\langle y,y\rangle }</tex> получаем отсюда:  <tex>-\frac{|\langle x'',y\rangle |^2}{\langle y,y\rangle }-\frac{|\langle x'',y\rangle|^2}{\langle y,y \rangle}+\frac{|\langle x'',y \rangle|^2}{\langle y,y \rangle}\ge 0</tex>, то есть, <tex>|\langle x'',y \rangle|^2 \le 0</tex>, чтоможет быть только лишь в случае <tex>\langle x'',y \rangle=0</tex>. Итак, возможность представления <tex>x</tex> в форме <tex>x=x'+x''</tex> и соотношение <tex>\|x-x'\|=\rho(x, H_1)</tex> установлены. Докажем единственность такого представления. В самом деле, если <tex>x=x_1'+x_1''</tex> (<tex>x_1'\in H_1</tex>,<tex>x_1''\in H_2</tex>), то неразборчивое про прямую суммусопоставив это с <tex>x=x'+x''</tex>, получим <tex> x'-x_1'=x_1''-x''</tex>. Поскольку <tex>x'-x_1' \in H_1</tex>, <tex>x_1''-x''\in H_2</tex>, то <tex>x'-x_1' \perp x_1''-x''</tex>, откуда получаем <tex>x'-x_1' = x_1''-x'' = 0</tex>.}}

Пусть $<tex>X$ </tex> — НП, а $<tex>Y$ </tex> {{- --}} собственное (то есть не совпадающее с <tex>X</tex>) подпространство $<tex>X$</tex>, тогда $<tex>\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon$ </tex> (где $<tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|$</tex>)

Если $<tex>Y$ </tex> — строго подмножество $<tex>X$</tex>, то существует $<tex>x_0 \notin Y$</tex>.

$<tex>d = \rho(x_0, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \| x_0 - y \|$</tex>

Пусть $<tex>d = 0$</tex>, тогда $<tex>\forall n \in \mathbb{N} \exists y_n \in Y: \| x_0 - y_n \| < {1 \over n}$</tex>, то есть $<tex>y_n \to x_0$</tex>. $<tex>Y$ </tex> — замкнутое, следовательно, $<tex>x_0 \in Y$</tex>, то есть получили противоречие и $<tex>d > 0$</tex>.

$<tex>\varepsilon \in (0, 1)$</tex>, тогда $<tex>{1 \over 1 - \varepsilon} > 1$</tex>, $<tex>\exists y_{\varepsilon} \in Y: \| x_0 - y_{\varepsilon} \| < {1 \over 1 - \varepsilon} d$</tex>. Рассмотрим $<tex>z_{\varepsilon} = {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|}, \| z_{\varepsilon}\| = 1$</tex>

$<tex>\forall y \in Y: \| z_{\varepsilon} - y \| = \left\| {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|} - y \right\| = {\| x_0 - y_{\varepsilon} - y \| x_0 - y_{\varepsilon} \| \| \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \| }$</tex>. $<tex>y_{\varepsilon} - + y \| x_0 - y_{\varepsilon}\|$ </tex> по линейности <tex>Y</tex> лежит в $<tex>Y$ </tex> так как оно замкнуто, тогда числитель будет больше $<tex>d$</tex>, а знаменатель — меньше $<tex>{1 \over 1 - \varepsilon} d$</tex>, то есть дробь будет больше $<tex>1 - \varepsilon$</tex>.

Таким образом, для любого $<tex>y$ </tex> из $<tex>Y$ </tex> подобрали $<tex>z_{\varepsilon}$ </tex> из $<tex>X$</tex>, что $<tex>\|z_{\varepsilon} - y \|$ </tex> не меньше $<tex>1 - \varepsilon$</tex>, а тогда и $<tex>\rho(z_{\varepsilon}, Y)$ </tex> будет не меньше $<tex>1 - \varepsilon$ </tex> по свойствам инфимума.}}

TODO: 1) нахера тут Смысл данной леммы состоит в том, что-то про собственное подпространство? Чтобы $Y$ не могло полностью совпадать с $в произвольном нормированном пространстве <tex> X$ или что? Вообще, при чем тут что-то собственное, вроде никакого оператора тут не наблюдается? 2) нахера $\ge 1 - </tex> для сколь угодно малого <tex> \varepsilon$</tex> и произвольного подпространства <tex> Y </tex> найдется элемент, почему нельзя просто $\ge который будет к нему перпендикулярен с точностью до <tex> \varepsilon$, раз уж он от 0 до 1? 3) объясните кто-нибудь сакральный смысл этой леммы(((}}</tex>.

Если $<tex>X$ </tex> - бесконечномерное НП, то единичный шар $<tex>S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}$ </tex> в нем не компактен.

Возьмем $<tex>x \in S_1$</tex>, $<tex>Y_1 = \mathcal{L}(x_1)$ </tex> — собственное подпространство $<tex>X$ (TODO: Што?? почему собственное?)</tex>, применим лемму Рисса, возьмем $<tex>\varepsilon = {1 \over 2}$</tex>, существует $<tex>x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}$</tex>, заметим, что $<tex>x_2$ </tex> окажется в $<tex>S_1$</tex>.

$<tex>Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)$</tex>, опять применим лемму Рисса, существует $<tex>x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2$</tex>, $<tex>x_3$ </tex> будет в $<tex>S_1$</tex>.

Продолжаем так же для $<tex>Y_3 \dots Y_n \dots$</tex>. Процесс никогда не завершится, так как $<tex>X$ </tex> — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в $<tex>S_1$</tex>, но из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как $<tex>\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}$</tex>, следовательно, $<tex>S_1$ </tex> не компактно.

В Гильбертовых пространствах важно понятие ортонормированной системы точек: $<tex>e_1 \dots e_n \dots \in H, \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$</tex>.

Рассмотрим для точки $<tex>x \in H$ </tex> абстрактный ряд Фурье $<tex>\sum_{i=1}^{\infty} \langle x, e_i \rangle e_i$</tex>, $<tex>\langle x, e_i\rangle$ </tex> называют абстрактными коэффициентами Фурье.

$<tex>T_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in \mathcal{L}(e_1 \dots e_n) = H_n$</tex>

{{Теорема: $|statement=<tex>\forall x \in H: \rho(inf\limits_{h \in H_n} \|x, H_n) - h \| = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| $</tex>. TODO|proof=Доказательство есть здесь: найти доказательство, где[[L_2-то было онотеория рядов Фурье]].}}

$ <tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} ( \langle x, e_k)\rangle^2 \le \|x\|^2$</tex>

Для некоторого набора коэффициентов $ <tex> \beta_k $ </tex> рассмотрим скалярное произведение:

$ <tex> 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k, x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x, e_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = $</tex>

$ <tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, e_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, e_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n( \langle x, e_k)\rangle ^2 $</tex>.Теперь, пусть $ <tex> \beta_k = (x, l_ke_k) $</tex>, имеем $ <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, e_k)^2 $</tex>, устремив $ <tex> n $ </tex> к бесконечности, получим требуемое.

Интересно рассмотреть, когда для всех $<tex>x$ </tex> неравенство превращается в равенство.

TODO равенство Парсеваля вроде?

В неравенстве Бесселя для любого $<tex>\forall x$ будет равенство : \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle ^2 </tex> тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая. TODO: пшшш, что-то неразборчивое

???Это доказательство (правда, по кускам) тоже есть здесь: [[L_2-теория рядов Фурье]]. 

Пусть $<tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}$ </tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве $<tex>H$</tex>, $<tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq < +\infty<$/tex>. Тогда $<tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle$ </tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': $<tex>\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2$ TODO: что-то не понял, откуда альфы берутся, ряд типа нам дают, а мы уже по нему точку строим?</tex>

TODOМожно задаться вопросом: далее идет что-то бредовоекакое топологическое свойство характеризует существование ортонормированного базиса?

Вопрос: какое топологическое свойство характеризует существование базиса: замкнутость ОНС? Достаточно требовать, чтобы ${{Теорема|statement=Пусть <tex>H</tex> {{---}} сепарабельное. Тогда в <tex> H$ было сепарабельным: $</tex> существует ортнормированный базис.|proof=<tex>\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H$ </tex> — счетное всюду плотное.

$<tex>\mathrm{Cl}\mathcal{L}(a_1 \dots a_n \dots) = H$</tex>, следовательно, надо превратить в ОНС, чтобы линейная оболочка совпала.  ОНС строится процедурой Грама-Шмидта.}}