1679
правок
Изменения
тут нужен кто-то адекватный, чтобы вставить пропуски, а то я запутался
В ситуации $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$, когда предел определен поточечно, если $\forall 0 \le t_1 < \dots < t_n \le 1, \forall \varepsilon_1 \dots \varepsilon_n > 0$ рассмотреть $U_{t_1 \dots t_n} (\varepsilon_1 \dots \varepsilon _n) = \{ f \mid \forall j: |f(t_j)| < \varepsilon_j \}$, объявить их окрестностями нулевой функции — в такой базе окрестности нуля функции будут непрерывны и предел будет поточечным.
Как охарактеризовать векторную топологию? Пусть $X$ — линейное пространство, $A, B \subset X \Rightarrow $, тогда определим* $A + B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B\}$(TODO: что бы значила тут стрелка вправо?), $\alpha A = \{ \alpha a \mid a \in A \}. $Заметим, что $2 A \subset A + A$, но обратное не верно.
{{Определение
# $\tau$ инвариантна относительно сдвигов: $\tau + x_0 = \tau$
# существует база из радиальных уравновешенных окрестностей нуля
# $\forall U(0) \exists U_1(0): U_1(0) + U_1(0) \subset U(0)$(TODO: какой сакральный смысл у этого свойства?)
|proof=
В прямую сторону:
*: Если $x \to x_0, y \to y_0$. $x = x_0 + u, y = y_0 + v, u \to 0, v \to 0$. $x + y = (x_0 + y_0) + (u + v)$, где по свойствам предела $(u + v) \to 0$, что и требуется.
Непрерывность умножения:пусть $\lambda \to \lambda_0, x \to x_0$, покажем что $\lambda x \to \lambda_0 x_0$. Пусть $\lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0$, $x = x_0 + u, u \to 0$. Тогда $\lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u)$. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.*: TODO дальше ничего что-то длинное и страшноене понимаю, запилите кто-нибудь,а?
}}
