Изменения

В обратную: пусть $V$ — ограниченная выпуклая окрестность нуля. $W$ — радиальная закр. ({{TODO|t= что значит закр.?}}уравновешенная) окрестность 0: $W \subset V$, $\mathrm{Cov} W $ — выпуклая оболочка({{TODO|t=оболочка чего??}}), $V$ — выпуклая, $\mathrm{Cov} W \subset V$, $\mathrm{Cov} W$ — радиальное закр. уравновешенное множество, так как $W$ — такое же. Из ограниченности $V$ следует ограниченность $\mathrm{Cov} W$, то есть, мы построили $V^* = \mathrm{Cov} W$ — радиальную уравновешенную выпуклую окрестность $0$.

То есть, мы построили $V^* = \mathrm{Cov} W$ — радиальное закр. выпуклую {{TODO|t= пшшш.}} $V^* \to p_{V^*}$ — функционал Минковского — полунорма. $V^*$ ограничено, тогда $\{ {1 \over n} V^* \}$ — база окрестностей 0. Так как пространство Хаусдорфово, то $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over n} V^* = \{0\} \Rightarrow p_{V^*}(x) = 0 \Rightarrow x = 0$, то есть $p_{V^*}$ — норма, а $\{ {1 \over n} V^*\}$ — база окрестностей нуля, нормируемых функционалом Минковского.