689
правок
Изменения
м
sta
|statement=
Пусть <tex> A </tex> нигде не плотно в <tex> (X, \rho) </tex>. Тогда в любом шаре есть шар, не содержащий точек <tex>A</tex>.
|proof=Пусть <tex> B = \mathrm{Cl} A </tex>, так как <tex> A </tex> нигде не плотно в <tex> X </tex>, то <tex> \mathrm{TODO|tInt} B = \varnothing </tex>. Это значит, что <tex>\bigcup\limits_{G \subset B} G = \varnothing </tex>, то есть, любое непустое открытое <tex> G </tex> не является подмножеством <tex> B </tex>. Рассмотрим произвольный открытый шар <tex> V </tex>, <tex> V = (V \cap B) \cup (V \cap \overline B) </tex>. Из наших рассуждений следует, что <tex> V \cap \overline B </tex> непусто. Но <tex> \overline B </tex> {{---}} открытое множество, <tex> \overline B =доказать\bigcup\limits_{\alpha}V_{r_\alpha}(a_\alpha) </tex>, <tex> \exists V_1: V \cap V_1 \ne \varnothing </tex>. Тогда можно просто выбрать <tex> V_r(a) \subset V \cap V_1 </tex>, он и будет искомым шаром без точек <tex> A </tex>.
}}
