Изменения

1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.  Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex>

Рассмотрим <tex>f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>, если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>. Теперь надо  Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = \varphi A^*</tex>. Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex> (которое замкнуто {{TODO|t=где здесь нужна замкнутость?}}), то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха. Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>. Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран.  Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>. Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.

Применим теорему Хана-Банаха<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, поэтому если найдем <tex>\varphiF</tex>— банахово, заданный на поэтому <tex>R(A)</tex>, сможем продолжить его на все — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>.

Если для Тогда по теореме Банаха об обратном операторе существует линейный ограниченный оператор <tex>y \in R(widetilde{A)</tex>, <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>, то <tex>A(x }^{- x') = 01}</tex>, то есть <tex>x - x' \in | \operatornamewidetilde{KerA} A</tex>, то есть <tex>f(x ^{- x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex>, что <tex>Ax = 1} \| \le m \|y</tex>, был выбран. <tex>\varphi(| \le 2m \|y) = f(x)\|</tex>, <tex>y {{TODO|t= Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>а последнее неравенство зачем?}}.

По Если <tex>\xi \in E/_{\operatorname{Ker} A}, \xi = [[теореме Банаха об обратном операторе]x]:</tex>, то <tex>\|\xi\| = \inf\limits_{x\in \xi} \|x\|</tex>.

{{TODO | t = Далее творится какой-то ад с использованием т. Х-Б, кто прошаренный в матане, напишите пожалуйста, особенно про факторизациюWORK IN PROCESS}}