Изменения

Пусть некоторая точка <tex>u</tex> является ближайшей для семи точек. Соединим эти семь точек с точкой <tex>u</tex> отрезками и рассмотрим минимальный из углов, который образуют проведённые отрезки <tex>vu</tex> и <tex>wu</tex>. Этот угол <tex>\alpha</tex> меньше 60° (иначе все семь углов больше либо равны 60° и их сумма больше 360°), поэтому <tex>\cos \alpha > \frac 1 2</tex>. Обозначим за <tex>a</tex> меньший из отрезков <tex>wu</tex> и <tex>vu</tex>, за <tex>b</tex> — больший, а за <tex>c</tex> ­— отрезок <tex>vw</tex>. Тогда по теореме косинусов:

Так как точка <tex>c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos\alpha = a^2(1+(\frac {b} {a})^2 - 2 \cdot \frac {b} {a} \cos \alpha) u< a^2/tex> ближайшая для точек <tex>v</tex> и <tex>w</tex> Значит, то <tex>vw</tex>c — наибольшая сторона в треугольнике < atex>vwu</tex>, но так как точка . В треугольнике наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла. Но напротив стороны <tex>uvw</tex> — ближайшаялежит угол меньше 60°, значит, то должно быть наоборотсумма углов треугольника меньше 180°. Противоречие. Значит, предположение неверно.