62
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|statement=Для любой [[Иерархия Хомского формальных грамматик#Класс 1 | неукорачивающей ]] грамматики <tex>\Gamma_1</tex> существует эквивалентная [[Иерархия Хомского формальных грамматик#Класс 1 |контекстно-зависимая ]] грамматика <tex>\Gamma_2</tex>.
|proof=
Рассмотрим правило из <tex>\Gamma_1= \langle \Sigma, N_1, S \in N_1, P \in N_1^{*}\times (\Sigma\cup N_1)^{*}\rangle</tex>, оно имеет вид . Будем строить правила для контекстно-зависимой грамматики <tex>\Gamma_2</tex>. Каждое правило <tex>X_1 X_2 \ldots X_n \to Y_1 Y_2 \ldots Y_m</tex>, где <tex>m \ge geqslant n</tex>добавим в , из <tex>\Gamma_2Gamma_1</tex> следующий набор заменим набором следующих правил:
<tex>X_1 X_2 X_3 \ldots X_n \to Z_1 X_2 X_3 \ldots X_n,\\Z_1 X_2 X_3 \ldots X_n \to Z_1 Z_2 X_3 \ldots X_n,\\Z_1 Z_2 X_3 \ldots X_n \to Z_1 Z_2 Z_3 \ldots X_n,\\\vdots\\Z_1 Z_2 \ldots Z_{n-1} X_n \to Z_1 Z_2 \ldots Z_{n-1} Z_n,\\Z_1 Z_2 Z_3 \ldots Z_n \to Y_1 Z_2 Z_3 \ldots Z_n,\\Y_1 Z_2 Z_3 \ldots Z_n \to Y_1 Y_2 Z_3 \ldots Z_n,\\Y_1 Y_2 Z_3 \ldots Z_n \to Y_1 Y_2 Y_3 \ldots Z_n,\\\vdots\\Y_1 Y_2 Y_3 \ldots Y_{n-1} Z_n \to Y_1 Y_2 Y_3 \ldots Y_{n-1} Y_n \ldots Y_m.\\</tex>
Причём нетерминалы <tex>Z_{*}</tex> свои для каждого правила из <tex>Z_1 X_2 \ldots X_n \to Z_1 Z_2 Gamma_1</tex> и <tex>Z_{*} \ldots X_nnotin N_1</tex>.
В словах языка, задаваемого грамматикой, не может быть нетерминалов, поэтому если в процессе вывода будет применено правило <tex>X_1 X_2 \ldotsX_n \to Z_1 X_2 \ldots X_n</tex>, то впоследствии должны быть применены все остальные правила. В противном случае нетерминалы <tex>Z_1</tex> или <tex>Z_n</tex>будут присутствовать в выведенном слове.
Правила вида <tex>Z_1 Z_2 $K$ \ldots Z_{n-1} X_n to \to Z_1 Z_2 varepsilon</tex>, где <tex>$K$ \ldots Z_{n-1} Z_nin N_1</tex>оставляем без изменений.
По [[Иерархия Хомского формальных грамматик#Класс 1|определению]] в <tex>Z_1 \Gamma_1</tex> нет правил другого вида. Получившаяся грамматика <tex>\Gamma_2</tex> является эквивалентной грамматике <tex>\Gamma_1</tex>, так в результате применения набора правил строка <tex>X_1 X_2 \ldots Z_n \to X_n</tex> перейдёт в строку <tex>Y_1 Z_2 Y_2 \ldots Z_nY_m</tex>. Осталось заметить, что по [[Иерархия Хомского формальных грамматик#Класс 1|определению]] получившаяся грамматика <tex>\Gamma_2</tex> является контекстно-зависимой.}}
{{Лемма|id= ==lemma==|statement=Любая контекстно-зависимая грамматика является неукорачивающей.|proof= Заметим, что в [[Иерархия Хомского формальных грамматик#Класс 1|определении контекстно-зависимой грамматики]] <tex>\ldotsgamma</tex>не пуста, поэтому <tex>|\alpha A \beta| \leqslant |\alpha \gamma \beta|</tex>. Следовательно, такая грамматика является неукорачивающей по [[Иерархия Хомского формальных грамматик#Класс 1|определению]].}}