Изменения

==АлгоритмОписание==Пусть <tex>q</tex> {{---}} состояние автомата <tex>\mathcal{A} =\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to Q \rangle</tex>. {{Определение|definition='''Правым языком''' (англ. ''right language'') называется язык <tex>L_d(q)</tex>, распознаваемый автоматом <tex>\mathcal{A}</tex>, в котором <tex>q</tex> является уникальным начальным состоянием. }}{{Определение|definition=Описание===Алгоритм минимизации конечных '''Левым языком''' (англ. ''left language'') называется язык <tex>L_g(q)</tex>, распознаваемый автоматом <tex>\mathcal{A}</tex>, в котором <tex>q</tex> является уникальным терминальным состоянием. }} Таким образом, допустимые слова языка <tex>L</tex>, проходящие через состояние <tex>q</tex>, фактически разделяются на два языка, а соединение соответствующих слов этих языков по всем состояниям даст исходный язык <tex>L</tex>.<br> Рассмотрим слово <tex>y</tex> из левого языка <tex>L_g(q)</tex>. Тогда множество слов <tex>L_d(q)</tex> {{---}} [[Детерминированные конечные автоматыКонтексты_и_синтаксические_моноиды|автоматовправый контекст]] Бржозовского слова <tex>y</tex> в языке <tex>L</tex>. Аналогично для правого языка и левого контекста. {{Утверждение|about=1|statement=Автомат является детерминированным тогда и только тогда, когда левые языки его состояний попарно не пересекаются.|proof=Рассмотрим состояния <tex>q</tex> и <tex>q'</tex> (Janusz A<tex>q \neq q'</tex>) в ДКА. Пусть левые языки этих состояний пересекаются, то есть <tex>L_g(Johnq) Brzozowski\cap L_g(q') выделяется= \{ w \}</tex>.<br>По окончании процесса допуска слова <tex>w</tex> мы оказываемся в состоянии <tex>q</tex> или <tex>q'</tex>. Следовательно, из какого-то состояния на пути в терминальное существует несколько различных переходов по крайней мереодному из символов <tex>w</tex>, следующими качествамиа значит <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} НКА. Получаем противоречие.}} {{Определение|definition='''Обратное слово''' (англ. ''reverse of the word'') <tex>r(u)</tex> для слова <tex>u</tex> определяется следующим образом:<tex>r(\varepsilon) = \varepsilon</tex> и если <tex>u = u_1 u_2 u_3 \dotsc u_p</tex>, тогда <tex>r(u) = v_1 v_2 v_3 \dotsc v_p</tex>, где <tex>v_i = u_{p - i + 1}</tex>.}} {{Определение|definition='''Обратный язык''' (англ. ''reverse of the language'') для языка <tex>L</tex> {{---}} язык <tex>r(L) = \{ u \mid r(u) \in L \}</tex>.}} {{Определение|definition='''Обратный автомат''' (англ. ''reverse of the automaton'') для автомата <tex>\mathcal{A} = \langle \Sigma , Q , S , T , \delta \rangle</tex> {{---}} автомат <tex>r(\mathcal{A}) = \langle \Sigma , Q , T , I , r(\delta) \rangle</tex>, полученный из <tex>\mathcal{A}</tex> сменой местами начальных и конечных состояний и сменой направлений переходов.}} {{Утверждение|about=2|statement=Если <tex>\mathcal{A}</tex> распознает язык <tex>L</tex>, то <tex>r(\mathcal{A})</tex> распознает <tex>r(L)</tex>.}}

* Он элегантен и весьма оригинален.{{Утверждение* Он эффективен.|about=3* Он работает даже с [[Недетерминированные конечные автоматы|недетерминированными конечными автоматами]]statement=Если левый язык состояния <tex>q</tex> в <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} <tex>L_g(q)</tex>, тогда его левый язык в <tex>r(A)</tex> {{---}} <tex>L_d(q)</tex>.Аналогично для правого языка <tex>q</tex>.}}

Обладая обычными процедурами обращения Пусть <tex>\operatornamemathcal{revA}= \langle \Sigma , Q , I , T , \delta \rangle</tex> {{---}} [[Недетерминированные_конечные_автоматы|НКА]].<br>Тогда детерминированный автомат <tex>d(\mathcal{A}) = \langle \Sigma , Q' , \{ i' \} , T' , \delta' \rangle</tex> определяется следующим образом:* Детерминированному состоянию соответствует множество недетерминированных состояний: для каждого <tex>q' \in Q'</tex> и детерминизации имеем <tex>q' \subseteq Q</tex>,* Начальное состояние в <tex>d(\operatornamemathcal{detA})</tex> конечного [[Детерминированные конечные автоматы|{{---}} множество из <tex>I</tex> начальных состояний автомата]]<tex>\mathcal{A}</tex>, мы* Состояние в детерминированном автомате является терминальным тогда и только тогда, с помощью идеи Бржозовскогокогда оно содержится хотя бы в одном недетерминированном состоянии, можем немедленно приступить к минимизации заданного [[Детерминированные конечные автоматы|* Пусть <tex>q'</tex> {{---}} состояние детерминированного автомата]]и <tex>a</tex> – символ из <tex>\Sigma</tex>. Для этого надо дважды провести его через обе вышеуказанные процедурыЕсли переход из <tex>q'</tex> по символу <tex>a</tex> определен, тогда, по построению:<tex>\delta'(q', a) = \bigcup\limits_{q \in q'}{ \delta(q, a)}</tex>.

{{Утверждение|about=4|statement=Правый язык состояния <tex>mFA = \operatorname {det}q'</tex> <tex>d(\operatornamemathcal{revA}(\operatorname{det}()</tex> эквивалентен объединению правых языков состояний <tex>q</tex> автомата <tex>\operatornamemathcal{revA}(FA))))</tex>, гдепринадлежащих множеству <tex>q'</tex>.}}

* {{Определение|definition='''Левое отношение''' (англ. ''left quotient'') регулярного языка <tex>FAL</tex> это исходный КА,* для слова <tex>\operatorname{rev}u</tex> это процедура обращения КА,* из <tex>\operatornameSigma^{det*}</tex> это процедура детерминизации КА,* {{---}} язык <tex>mFAu^{-1}L = \{ v \in X^{*} \mid uv \in L \}</tex> это минимизированный КА.}}

Минимальный автомат <tex>\mathcal{A}_{L}</tex> для регулярного языка <tex>L</tex> определяется следующим образом:* множество состояний {{---}} это множество левых отношений языка <tex>L</tex>,* начальное состояние {{---}} <tex>L</tex>,* терминальные состояния {{---}} множество отношений, содержащих пустое слово,* функция перехода <tex>\delta(u^{-1}L, x) ===Корректность===(ux)^{-1}L</tex>.an automation is deterministic if and only if the left languages of its states are pairwise disjointАвтомат <tex>\mathcal{A}_L</tex> уникален с точностью до изоморфизма и имеет минимальное количество состояний.

if A recognizes the language L then r{{Утверждение|about=5|statement=Детерминированный автомат минимален тогда и только тогда, когда правые языки его состояний различны и все состояния достижимы.|proof=Рассмотрим состояния <tex>q</tex> и <tex>q'</tex> (<tex>q \neq q'</tex>) в ДКА. Пусть их правые языки <tex>L_d(Aq) recognizes the language r= L_d(q')</tex>. Тогда состояния <tex>q</tex> и <tex>q'</tex> можно объединить в одно.<br>Если состояние <tex>q</tex> недостижимо из начального состояния <tex>s</tex>, то его можно удалить из автомата {{---}} это никак не повлияет на язык <tex>L)</tex>.}}

if the left ==Алгоритм=====Описание===Алгоритм минимизации конечных [[Детерминированные конечные автоматы|автоматов]] Бржозовского (resp. right) language of the state q in Janusz A is L_g(q)(resp. L_d(qJohn)Brzozowski)выделяется, then its left (respпо крайней мере, следующими качествами:* Он элегантен и весьма оригинален.* Он эффективен. right) language in r(A) is L_d(q) (resp* Он работает даже с [[Недетерминированные конечные автоматы|недетерминированными конечными автоматами]]. L_g(q))

The right languages if a state q` if Введём следующие обозначения:*<tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} конечный автомат,*<tex>d(\mathcal{A})</tex> {{---}} детерминизированный автомат для <tex>\mathcal{A}</tex>,*<tex>r(\mathcal{A})</tex> {{---}} обратный автомат для <tex>\mathcal{A}</tex>,*<tex>dr(\mathcal{A})</tex> {{---}} результат <tex>d(r(\mathcal{A}))</tex>. Аналогично для <tex>rdr(\mathcal{A}) is equal to the union of the right languages of the states q of </tex> и <tex>drdr(\mathcal{A belonging to the subset q`})</tex>.

{{Теорема|about=Бржозовский, 1962|statement=Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} автомат (необязательно детерминированный), распознающий язык <tex>L</tex>. Минимальный детерминированный автомат <tex>\mathcal{A}_L</tex> может быть вычислен следующим образом: <tex>\mathcal{A}_L = drdr(\mathcal{A})</tex>.|proof=По построению автомат <tex>drdr(\mathcal{A})</tex> детерминированный. Согласно утверждению 2, он распознает язык <tex>L</tex>.<br> Покажем, что все правые языки <tex>drdr(\mathcal{A})</tex> различны. Из утверждения 1, левые языки <tex>dr(\mathcal{A})</tex> попарно не пересекаются. Из утверждения 3, правые языки <tex>rdr(\mathcal{A })</tex> являются левыми языками <tex>dr(deterministic\mathcal{A})</tex>. Таким образом, completeони попарно не пересекаются. Согласно утверждению 4, accessibleправый язык <tex>drdr(\mathcal{A})</tex> {{---}} объединение правых языков <tex>rdr(\mathcal{A})</tex>. Поскольку правые языки <tex>rdr(\mathcal{A})</tex> попарно не пересекаются, все правые языки <tex>drdr(\mathcal{A})</tex> различны. Так как все правые языки <tex>drdr(\mathcal{A})</tex> различны, согласно утверждению 5 автомат <tex>drdr(\mathcal{A}) automation is minimal if and only if the right languages of its states are all different</tex> минимальный. }}

===Пример работы===# Исходный [[Недетерминированные конечные автоматы|НКА]] (<tex>FA\mathcal{A}</tex>):<br>[[Файл:Fa.png|Исходный НКА]]# Первый шаг алгоритма (, <tex>r(\operatornamemathcal{revA}(FA)</tex>):<br>[[Файл:Rfa.png|Первый шаг]]# Второй шаг алгоритма (, <tex>\operatorname{det}dr(\operatornamemathcal{revA}(FA))</tex>):<br>[[Файл:Drfa.png|Второй шаг]]<br><tex>\operatorname{det}</tex> переименовывает В детерминизированных автоматах состоянияпереименованы, после этого так что <tex>0</tex> всегда является начальным состоянием.# Третий шаг алгоритма (, <tex>\operatorname{rev}rdr(\operatornamemathcal{detA}(\operatorname{rev}(FA)))</tex>):<br>[[Файл:Rdrfa.png|Третий шаг]]<br>После выполнения этого шага алгоритма оба состояния <tex>2</tex> и <tex>3</tex> являются начальными.# Заключительный шаг алгоритма (, <tex>\operatorname{det}(\operatorname{rev}(\operatorname{det}drdr(\operatornamemathcal{revA}(FA))))</tex>):<br>[[Файл:Drdrfa.png|Заключительный шаг]]

Самым эффективным алгоритмом минимизации принято считать [[Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))|алгоритм Хопкрофта]], который, как и прочие традиционные алгоритмы, работает только с [[Детерминированные_конечные_автоматы|ДКА]]. Его асимптотическое время выполнения зависит от логарифма исходных данных. С другой стороны очевидно, что алгоритм Бржозовского в худшем случае будет обладать экспоненциальным временем выполнения, ведь этого требует процедура детерминизации, выполняемая дважды. На практике же наблюдается парадокс, алгоритм Бржозовского во многих случаях опережает прочие подходы к минимизации, включая и [[Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))|алгоритм Хопкрофта]]. В работе<ref>[http://citeseerciteseerx.uarkist.psu.edu:8080/citeseerx/viewdoc/summarydownload;jsessionid=EF3DD7271F6E8907A154A540D93F2B0CA511A421C93DF66BDCC32A0E133D1F99?doi=10.1.1.59.8276 &rep=rep1&type=pdf Deian Tabakov, Moshe Y. Vardi. Experimental evaluation of classical automata constructions]</ref>, сравнивающей оба алгоритма, показано, что алгоритм Бржозовского оказывается эффективнее [[Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))|алгоритма Хопкрофта]] для автоматов с большим числом переходов.

# * [https://pdfs.semanticscholar.org/f3be/b5e5825e6eedaab7f382341c9dd9c2ab33fa.pdf J.-M. Champarnaud, A. Khorsi, T. Paranthoen {{---}} Split and join for minimizing: Brzozowski's algorithm]* [http://sovietov.com/txt/minfa/minfa.html Пётр Советов {{---}} Алгоритм Бржозовского для минимизации конечного автомата]