302
правки
Изменения
Нет описания правки
Стабилизирующаяся часть разложения выделена.
==Треугольник Дика и непрерывная дробь для чисел Эйлера=====Треугольник Дика===
Треугольник Дика перечисляет пути в положительном квадранте плоскости, выходящие из начала координат и составленные из векторов <tex>(1, 1)</tex> и <tex>(1, −1)</tex>.
[[Файл:T1.PNG|250px]]
Изменим несколько треугольник Дика, поставив на стрелках числа. А именно, поставим на каждой стрелке номер того ряда, в котором она находится. Номер на стрелке
мы будем интерпретировать как ее кратность, т.е. как число различных стрелок, проходящих в данном направлении. В результате одному пути в треугольнике Дика отвечает несколько «различных» путей в треугольнике с кратностями. Их число равно произведению кратностей всех ребер, входящих в данный путь.
Числа, стоящие в нижней строке треугольника составляют последовательность чисел Эйлера.
[[Файл:T2.PNG|500px]]
{{Теорема
|statement=Производящая функция <tex>F_{0}(s) = 1 + s^2 + 5s^4 + 61s^6 + 1385s^8 + \cdots</tex> для нижней стороны треугольника Дика представляется в
виде непрерывной дроби
<tex>F_{0}(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1^2s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2^2s^2}}{1 - \cfrac{3^2s^2}{1 - \cdots}}}}.</tex>
|proof=Производящая функция <tex>F_0(s)</tex> перечисляет различные пути с началом и концом на высоте <tex>0</tex>. Обозначим через <tex>F_i(s)</tex> производящую функцию, перечисляющую пути с началом и концом на высоте <tex>i</tex>, которые не опускаются ниже уровня <tex>i</tex>, по их длине.
Тогда
<tex>F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)}.</tex>
Действительно, каждый путь с началом и концом на высоте <tex>0</tex> единственным образом разбивается на такие участки, что
#Концы пути на каждом участке лежат на высоте <tex>0</tex>.
#Высота всех промежуточных точек пути на каждом участке больше нуля.
Если отбросить начальный и конечный отрезок такого участка, то мы получим путь, начинающийся и заканчивающийся на высоте <tex>1</tex>.
Аналогично,
<tex>F_1(s) = \cfrac{1}{1 - 4s^2F_2(s)}.</tex>
Появление четверки в коэффициенте при <tex>s^2</tex> объясняется тем, что к данному пути, начало и конец которого лежат на высоте <tex>2</tex>, начальный и конечный векторы, превращающие его в путь на высоте <tex>1</tex>, можно добавить четырьмя «различными» способами.
Продолжая это рассуждение, мы заключаем, что
<tex>F_k(s) = \cfrac{1}{1 - (k+1)^2s^2F_{k+1}(s)},</tex>
и непрерывная дробь теперь выписывается очевидным образом:
<tex>F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^2}{1 - 4s^2F_2(s)}} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1s^{2}}{1 - \cfrac{s^{4s^2}}{1 - \cfrac{9s^2}{1 - \cdots}}}}.</tex>
}}
==См. также==
