302
правки
Изменения
Нет описания правки
==Свойства==
#Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\cfrac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой n—ой подходящей дробью'''.#Всякий многочлен или дробно-рациональная дробно—рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь<ref>{{Хованский А. Н. Приложения цепных дробей и их обобщений к #:вопросам приближённого анализа (главы 1 и 2) М. Гостехиздат 1956}}</ref>:
#:
#:<tex>\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2 x}{a_2+\cfrac{b_3 x}{a_3+\ldots}}}\;</tex>
{{Утверждение
|statement=
[[Теорема_о_связи_между_рациональностью_производящей_функции_и_линейной_рекуррентностью_задаваемой_ей_последовательности| Дробно-рациональная Дробно—рациональная производящая функция]] всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.
}}
<tex>Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cdots}}}.</tex>
Полученное разложение нужно понимать следующим образом. Если мы оборвем непрерывную дробь на <tex>n</tex>-м —м шаге (оставив вместо нее конечную непрерывную дробь, которая представляет собой рациональную функцию), то коэффициенты разложения полученной функции по степеням <tex>s</tex> будут совпадать с коэффициентами разложения функции <tex>Cat(s)</tex> вплоть до члена <tex>s^{2n}</tex>.Заметим, что из-за наличия множителя <tex>s^2</tex> в числителе очередной дроби, присоединяемой на <tex>(n + 1)</tex>-м —м шаге, увеличение числа членов в непрерывной дроби не приводит к изменению первых <tex>n</tex> коэффициентов в ее разложении. Например,
<tex>\cfrac{1}{1 - s^{2}} = \boldsymbol{1 + s^2} + s^4 + s^6 + s^8 + \cdots,</tex>
