689
правок
Изменения
м
TODO: исправить кучу ошибок, которая наваливается ближе к концу.
Из дифференцируемости следует непрерывность : <tex>\left|| \mathcal{F}'(x)\Delta x |\right| \le \left|| \mathcal{F}'(x)|\right| \left|| \Delta x |\right|</tex>
По неравенству треугольника, а так же тому факту, что <tex>\mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x)=\mathcal{F'}(x) \times \Delta x + \alpha(\Delta x) || \Delta x||</tex>, получаем Из дифференцируемости следует непрерывность : <tex>\left|| \mathcal{F}'(x + )\Delta x) - \mathcal{F}(x)|\right| \le \left|| \mathcal{F}'(x)|\right| \left||\Delta x |\right| + \left|| \alpha(\Delta x)|\right| \left||\Delta x|\right|</tex>.
Правая часть этого выражения стремится к нулюИсходя из неравенства треугольника и определения производной, следовательно <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}}непрерывна в <tex>x</tex>.
Пусть <tex>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</tex> {{---}}функция <tex>n</tex> переменных. <tex>y = f(x_1, x_2,...,x_n), \quad </tex>
Пусть Теперь, пусть <tex>V</tex> {{---}}шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad f : V \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\forall x \in V \quad f(x)</tex> {{---}}дифференцируема. Так как шар {{---}} выпуклое множество, то для <tex>\overline{a}, \overline{b} \in V, </tex> выполняется <tex> \forall t \in [0,1] \quad t\overline{a}+(1-t)\overline{b} \in V</tex>;
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> {{---}}шар в <tex>X,~\quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}}'''дифференцируема ''' в точке <tex>x</tex>, если существует зависящий от <tex> x </tex> ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, который может зависеть от <tex>x</tex>такой, такой что : если <tex>\left || \Delta x \right|| < r, (x + \Delta x \in V_r(x))</tex>, то:
<tex>\mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(x) \times \Delta x ) + \alpha(\Delta x) \left || \Delta x \right ||</tex>, причем <tex> \alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <tex>\Delta x \rightarrow 0</tex>
Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> {{---}}'''производная Фреше ''' отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}
При <tex> X = Y = \mathcal{R} </tex> получаем определение дифференциала и производной функции одной переменной.
Установим теорему, обобщающую классическое правило дифференцирования сложной функции :
{{Теорема
|proof=
Доказательство копирует классическое доказательство, с заменой знака модуля на знак нормы.
{{TODO|t=Вот и неплохо бы скопировать его сюда.}}
}}
<tex> \| \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) \| = \| \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \| \Delta x \|\| \le \| \mathcal{F}'(x) \| \|\Delta x \| + \| \alpha(\Delta x)\| \|\Delta x\|</tex> Правая часть этого выражения стремится к нулю при <tex> \Delta x \rightarrow 0 </tex>, следовательно, <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}} непрерывна в точке <tex> x </tex>. Найдем вид матрицы производной Фреше при <tex>\mathcal{F} : V_r(x) = \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. Пусть <tex>\mathcal{F}'(\overline{x}) = A_{ij}</tex>
По условию <tex>\mathcal{F}(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}(\overline{x}) = \mathcal{F}'(\overline{x})\Delta\overline{x} + \alpha(\Delta\overline{x})\left||\Delta\overline{x}|\right|</tex>
{{Определение
|definition=
Данный предел называется '''частной производной ''' первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}</tex>
{{Определение
|definition=
Матрица, составленная из элементов <tex>A_{ij}</tex> {{---}}'''матрица Якоби ''' отображения <tex>\mathcal{F} \quad</tex> .
<tex dpi = "140">
A = (\mathcal{F}'(x)) =
{{Определение
|definition=
При <tex>n = m</tex> определитель этой матрицы {{---}}'''якобиан'''.
}}
Пример :
Существование всех частных производных координатных функции отнюдь не гарантирует дифференцируемость <tex>\mathcal{F}</tex>. Для указания достаточных условий предварительно рассмотрим один частный случай {{---}} дифференцирование композиций.
Пусть <tex>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</tex> {{---}}функция <tex>n</tex> переменных, <tex>y = f(x_1, x_2,...,x_n) </tex>. Пусть также <tex>x_j = \varphi_j(t), \quad t \in \mathbb{R}</tex>.
<tex>y = g(t) = f(\varphi_1(t), \varphi_2(t),...,\varphi_n(t))</tex>
Пусть существует <tex>f^{-1}'(\overline{x}), \quad \varphi_j'(t)</tex>
<tex dpi = "140"> (f'(\overline{x})) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})</tex>
<tex>
(\overline{\varphi'}(xt)) =
\begin{pmatrix}
\varphi_{1}'(t)\\
</tex>
<tex>(BA) = (B)(A)</tex>, поэтому:
<tex = dpi = "140">g'(t) = (f'(\overline{x}))(\overline{\varphi}'(t)) = \sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})\cdot \varphi'_{j}(t)</tex>.
<tex>g(t) = f(t\overline{a}+(1-t)\overline{b}),
<tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\Theta\overline{a} + (1-\Theta)\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex>
Мы пришли к следующему обобщению формулы Лагранжа конечных приращений : пусть <tex>f</tex> {{---}}дифференцируема в <tex>V</tex>. Тогда<tex>\forall a, b \in V : f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b}),\quad \Theta \in (0,1)</tex>
Для <tex>\mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad V \in \mathbb{R}^n, m > 1</tex> {{---}}формула Лагранжа становится неверной. Невозможно подобрать <tex>\Theta</tex>, обслуживающее все координатные функции сразу.
<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b} = \mathcal{F}'_i(\Theta_i\overline{a}+(1-\Theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>.
Для разных <tex>i</tex> {{---}}разные <tex>\Theta_i</tex>. Впрочем, для отдельных координат формулу писать все равно можно. Однако формула Лагранжа допускает распространение и на абстрактную ситуацию, но в несколько другом виде.
{{Теорема
|author=
Неравенство Лагранжа
|statement=
Пусть <tex>V</tex> {{---}}шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m , \quad \mathcal{F}</tex> {{---}}дифференцируема в каждой точке шара, тогда :<br> <tex>\forall \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <tex>M = \sumsup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}(\overline{x})\right|\right|</tex>
|proof=
По доказанному ранее, для <tex>\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \in \mathbb{R}^m </tex> существует линейный непрерывный функционал <tex>\varphi : \varphi(\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})\right|\right|, \quad ||\varphi|| = 1</tex>
<tex>g(t) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a})), \quad t \in [0, 1]</tex>
Так как шар {{---}}выпуклый, все корректно, <tex>\varphi' = \varphi</tex>. Значит, <tex>g</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(t) = g'(\Theta), \quad \Theta \in (0,1)</tex>
По построению, <tex>g(1) - g(0) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b})) - \varphi(\mathcal{F}(\overline{a})) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b}) - \overline{a}) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right|</tex>
