Изменения

Ряд <texdpi='100'>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n</tex> имеет сумму <texdpi='100'>S</tex> по '''методу средних арифметических''' (обозначают аббревиатурой с.а.), если <texdpi='100'>S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex>.

Пусть дан ряд <texdpi='100'>\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n</tex> и <texdpi='100'> \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)</tex> (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму <texdpi='100'> S </tex> по '''методу Абеля''', если <texdpi='100'> S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)</tex>.

<texdpi='100'> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (с.а) <texdpi='100'> \Rightarrow </tex> <texdpi='100'> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (А).

<texdpi='100'>\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S</tex>(с.а.)Тогда, если существует такое <texdpi='100'> M > 0 </tex>, что <texdpi='100'> \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n </tex>, то <texdpi='100'> \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S</tex>.

<texdpi='100'>f_1, f_2, \ldots</tex> равномерно сходится к <texdpi='100'>f(x)</tex>, если <texdpi='100'>\forall \varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>Пишут, что <texdpi='100'>f_n \rightrightarrows f</tex>.

Пусть на <texdpi='100'>E</tex> задан функциональный ряд <texdpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>. Тогда он равномерно сходится к<texdpi='100'>f = \sum f_n</tex>, если<texdpi='100'>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |S_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>

УсловиеРяд равномерно сходится на <texdpi='100'>E</tex> <texdpi='100'>\iff</tex> <texdpi='100'>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall m, n : m \geq n > N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| < \varepsilon</tex>

<texdpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>, <texdpi='100'>\forall n \in \mathbb{N} </tex> , <texdpi='100'> \forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n</tex>, <texdpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n</tex> - сходится.Тогда <texdpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex> равномерно сходится на <texdpi='100'>E</tex>.

Пусть: * <texdpi='100'>\exists M: \forall x \in E \quad \forall N \in \mathbb N \quad \left |\sum\limits_{n = 1}^N b_n(x) \right| \le M</tex>* <texdpi='100'>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \mathbb N \quad \forall n > N \quad \forall x \in E \quad |a_n(x)| < \varepsilon;\quad\exists N:\forall n>N\quad a_n \ge a_{n+1}</tex>Тогда ряд <texdpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x)b_n(x)</tex> равномерно сходится.

Пусть на множестве <texdpi='100'>E</tex> заданы функции <texdpi='100'>f_n</tex>, <texdpi='100'>a</tex> - предельная точка этого множества и <texdpi='100'>\forall n \in \mathbb{N}\ \exists\ \lim \limits_{x \to a} f_n(x)</tex>. Тогда если <texdpi='100'>\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n</tex> - равномерносходится на <texdpi='100'>E</tex>, то выполняется равенство :<texdpi='100'>\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_n(x)</tex>

Пусть <texdpi='100'> f_{n} </tex> интегрируема и равномерно сходится к <texdpi='100'> f </tex> на <texdpi='100'> [a; b] </tex>. Тогда <texdpi='100'> f </tex> тоже интегрируема, и<texdpi='100'> \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f </tex>.

Пусть функциональный ряд состоит из <texdpi='100'>f_n \in \mathcal{R}\left[ a, b \right ]</tex> и равномерно сходится на этом отрезке.

<texdpi='100'>\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx =

Пусть на <texdpi='100'> (a, b) </tex> задан функциональный ряд <texdpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>, <texdpi='100'>\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится.Пусть также <texdpi='100'>\exists f_n'</tex> - непрерывна на <texdpi='100'>\langle a, b \rangle</tex> и<texdpi='100'>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <texdpi='100'>\langle a, b\rangle</tex>, тогда на <texdpi='100'>\langle a, b \rangle</tex> выполняется :<texdpi='100'>(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>.

Пусть для некоторого <texdpi='100'>x_0</tex> <texdpi='100'>\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n</tex> - сходится. Тогда <texdpi='100'>\forall x_1 : |x_1| < |x_0|</tex> ряд <texdpi='100'>\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|</tex> сходится.

<texdpi='100'>R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> - сходится <texdpi='100'>\}</tex>. Заметим, что возможны случаи <texdpi='100'>R = 0</tex> и <texdpi='100'>R = \infty</tex>.

Пусть есть ряд <texdpi='100'>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex> и <texdpi='100'>R</tex> - его радиус сходимости. Тогда1) <texdpi='100'>|x| < R</tex> <texdpi='100'>\Rightarrow</tex> ряд абсолютно сходится.2) <texdpi='100'>\forall [a; b] \in (-R; R)</tex> ряд сходится абсолютно и равномерно.3) <texdpi='100'>|x| > R</tex> <texdpi='100'>\Rightarrow</tex> ряд расходится. 4) <texdpi='100'>|x| = R</tex> - неопределённость.

Пусть есть <texdpi='100'>\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n</tex>, <texdpi='100'>R</tex> - его радиус сходимости. Тогда:1) Если <texdpi='100'>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1} }\right|</tex>, то <texdpi='100'>R = q</tex>.2) Если <texdpi='100'>\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}</tex>, то <texdpi='100'>R = \frac1q</tex>Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: <texdpi='100'>R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|} }</tex>. <s> Но она сложная и никому не нужна. </s> Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно.

Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы <texdpi='100'> r_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>

Пусть <texdpi='100'>x_n</tex>, <texdpi='100'>y_n</tex> — последовательности точек нормированного пространства <texdpi='100'>(X, \|\cdot\|)</tex>, а <texdpi='100'>\alpha_n</tex> — вещественная последовательность. Известно, что <texdpi='100'>x_n \rightarrow x</tex>, <texdpi='100'>y_n \rightarrow y</tex>, <texdpi='100'>\alpha_n \rightarrow \alpha</tex>.

# <texdpi='100'>x_n + y_n \rightarrow x + y</tex># <texdpi='100'>\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x</tex># <texdpi='100'>\|x_n\| \rightarrow \|x\|</tex>

Нормированное пространство <texdpi='100'>(X, \|\cdot\|)</tex> называется '''B-пространством''', если для любой последовательности элементов <texdpi='100'>X</tex>, для которых из <texdpi='100'>\|x_n - x_m\| \to 0</tex> при <texdpi='100'>n, m \to \infty</tex> вытекает существование предела последовательности.<texdpi='100'>\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|</tex>

<texdpi='100'>|(x, y)| \le \sqrt{(x, x)}\sqrt{(y, y)}</tex>

Пусть <texdpi='100'>H</tex> — линейное пространство. Величина <texdpi='100'>(x, y) \in \mathbb R</tex> называется скалярным произведением точек множества <texdpi='100'>H</tex>, если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:# <texdpi='100'>(x, x) \ge 0</tex>, <texdpi='100'>(x, x) = 0 \iff x = 0</tex># <texdpi='100'>(x, y) = (y, x)</tex># <texdpi='100'>(\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)</tex>Базируясь на этом неравенстве, определим норму <texdpi='100'>\|x\| = \sqrt{(x, x)}</tex>. Доказанное неравенство треугольника превращает <texdpi='100'>H</tex> в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют '''гильбертовым пространством'''.

Пусть <texdpi='100'> l_1 \dots \l_n \dots </tex> - ОНС в <texdpi='100'> H </tex> и <texdpi='100'> x \in H </tex>, тогда <texdpi='100'> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2 \le \|x\|^2</tex>Экстремальное свойства ряда Фурье заключается в следующем: <texdpi='100'>\sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2</tex> располагается ближе всего к <texdpi='100'>\|x\|^2</tex>, если <texdpi='100'>l_k</tex> — ряд Фурье <texdpi='100'>x</tex>.

Ряд <texdpi='100'> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> является '''ортогональным''', если <texdpi='100'> \forall n \ne m \Rightarrow (x_n, x_m) = 0 </tex>.В частности, так как <texdpi='100'> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <texdpi='100'> H </tex>(гильбертово), то <texdpi='100'> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k </tex> - ортогональный ряд.

<texdpi='100'>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> - сходящийся ортогональный ряд <texdpi='100'> \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 < + \infty </tex>.При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: <texdpi='100'> \| x \|^2 = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 </tex>

Пусть <texdpi='100'>X</tex> - B-пространство. Пусть <texdpi='100'>\overline V</tex> - замкнутый шар в <texdpi='100'>X</tex>.<br><texdpi='100'> \mathcal{T} : \overline V \to \overline V</tex> - '''сжатие''' на шаре <texdpi='100'>\overline V</tex>, если <texdpi='100'>\exists q \in (0;1) \ \forall x',x'' \in \overline V</tex> <texdpi='100'> : \| \mathcal{T}x''-\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|</tex>.

У любого сжимающего отображения существует ровно одна неподвижная точка <texdpi='100'>x^*=\mathcal{T}x^*</tex>.

Пусть <texdpi='100'>X</tex>, <texdpi='100'>Y</tex> — нормированные пространства, <texdpi='100'>~\mathcal{A}\colon X \to Y</tex>. <texdpi='100'>\mathcal{A}</tex> называется линейным оператором, если <texdpi='100'>\mathcal{A} (\alpha x + \beta y ) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) + \beta \mathcal{A} \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex>Л.о. называется ограниченным, если <texdpi='100'>\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A} \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex>Л.о. непрерывен в X, если <texdpi='100'>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) </tex>

Нормой ограниченного оператора <texdpi='100'>\left \| \mathcal{A} \right \|</tex> является <texdpi='100'>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|</tex>.

'''Линейный функционал''' - линейный оператор вида <texdpi='100'> \mathcal{A}: H \rightarrow \mathbb{R} </tex>, где <texdpi='100'> H </tex> - гильбертово пространство.

Для любого <texdpi='100'> x_0 \in H </tex> существует ограниченный линейный функционал <texdpi='100'>f \colon H \to \mathbb{R}</tex>, обладающий такими свойствами:# <texdpi='100'>f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex># <texdpi='100'>\left \| f \right \| = 1</tex>

<texdpi='100'>\forall x \ne y\ \exists</tex> линейный функционал <texdpi='100'>\mathcal{A} : \mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y</tex>Рассмотрим <texdpi='100'>x-y</tex>. <texdpi='100'>\exists \mathcal{A} : \mathcal{A}(x - y) = \| x- y\|</tex>. По линейности, <texdpi='100'>\mathcal{A}(x - y) = \mathcal{A}x - \mathcal{A}y</tex>. Значит, <texdpi='100'>\mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y</tex>.

утв покоординатная сходимость в <texdpi='100'>\mathbb R^n</tex>

Пусть дана последовательность <texdpi='100'>\overline x^{(m)} \in \mathbb R^n</tex>. Тогда <texdpi='100'>\overline x^{(m)} \rightarrow \overline x</tex> в <texdpi='100'>\mathbb R^n</tex> тогда и только тогда, когда для любого <texdpi='100'>j \in 1,\dots,n</tex> последовательность <texdpi='100'>\overline x_j^{(m)} \rightarrow \overline x_j</tex>

Пространство <texdpi='100'>\mathbb R^n</tex> с евклидовой нормой является B-пространством.

Надо установить, что из сходимости в себе следует существование предела по норме <texdpi='100'>\mathbb R^n</tex>.Если <texdpi='100'>\|\overline x^{(m)} - \overline x^{(p)}\| \rightarrow 0</tex>, то для любого <texdpi='100'>j</tex> выполняется <texdpi='100'>|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}| \rightarrow 0</tex>. По критерию Коши для числовых последовательностей из этого следует, что каждая из последовательностей <texdpi='100'>x_j^{(m)}</tex> имеет предел, то есть, последовательность точек сходится покоординатно.

Множество <texdpi='100'> X </tex> в <texdpi='100'> R^n </tex> компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Л.о. непрерывен в X, если <texdpi='100'>\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) </tex>

В <texdpi='100'>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <texdpi='100'>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <texdpi='100'>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <texdpi='100'>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex>

<texdpi='100'>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>

<texdpi='100'>\overline y = \mathcal{A} \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <texdpi='100'>\mathcal{A} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A} = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <texdpi='100'>j</tex> и <texdpi='100'>k</tex> пробегают от <texdpi='100'>1</tex> до <texdpi='100'>n</tex> и <texdpi='100'>m</tex> соответственно, а <texdpi='100'>\mathcal{A} \overline x </tex> — результат действия л.о. <texdpi='100'>\mathcal{A}</tex> на точку <texdpi='100'>\overline x</tex> можно представить в виде произведения матрицы <texdpi='100'>\mathcal{A}</tex> и столбца <texdpi='100'>x</tex>.В <texdpi='100'>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <texdpi='100'>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <texdpi='100'>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <texdpi='100'>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex>

Пусть <texdpi='100'>V_{r}(x)</tex> -шар в <texdpi='100'>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <texdpi='100'>\mathcal{F}</tex> - '''дифференцируема''' в точке <texdpi='100'>x</tex>, если существует зависящий от <texdpi='100'> x </tex> ограниченный линейный оператор <texdpi='100'>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, такой, что если <texdpi='100'>\left \| \Delta x \right \| < r \quad (x + \Delta x \in V_r(x))</tex>, то:<texdpi='100'> \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left \| \Delta x \right \| </tex>, причем <texdpi='100'> \alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <texdpi='100'>\Delta x \rightarrow 0</tex>Тогда <texdpi='100'>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> - '''производная Фреше''' отображения <texdpi='100'>\mathcal{F}</tex> в точке <texdpi='100'>x</tex>.

Пусть <texdpi='100'>\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда <texdpi='100'>\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)</tex>Данный предел называется '''частной производной''' первого порядка функции <texdpi='100'>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <texdpi='100'>x_j</tex>.

<texdpi='100'>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b}) = \mathcal{F}'_i(\theta_i\overline{a}+(1-\theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>

Пусть <texdpi='100'>V</tex> - шар в <texdpi='100'>\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad \mathcal{F}</tex> -дифференцируема в каждой точке шара, тогда:<br><texdpi='100'>\forall \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <texdpi='100'>M = \sup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}'(\overline{x})\right|\right| </tex>

Пусть <texdpi='100'>V(a) \subset \mathbb{R}^n</tex> <texdpi='100'>y = f(x_1,...,x_n)</tex>, <texdpi='100'>y : V \to \mathbb{R}</tex><texdpi='100'>\forall x \in V: \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}</tex>, каждая из которых, как функция <texdpi='100'>n</tex> переменных, непрерывна в <texdpi='100'>\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})

Тогда существует дифференциал этой функции в точке <texdpi='100'>a</tex>.

<texdpi='100'>\frac \partial{\partial x_j}</tex> — оператор, дифференцирующий функцию по <texdpi='100'>x_j</tex>. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков. Пусть <texdpi='100'>z = f(x,y)</tex>. Тогда <texdpi='100'>\frac \partial{\partial y} \left ( \frac {\partial f}{\partial x} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}</tex> — частная производная второго порядка функции <texdpi='100'>f</tex>. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.Пусть в двумерном шаре у функции <texdpi='100'>z = f(x,y)</tex> существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке <texdpi='100'>\overline a</tex> этого шара. Тогда в <texdpi='100'>\overline a</tex>: <texdpi='100'>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y} (\overline a)=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(\overline a)</tex>

<texdpi='100'>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex>

Опр: Пусть задан линейный функционал <texdpi='100'>y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) </tex> на <texdpi='100'> V(\overline{a}) \subset R^n </tex>.Если при <texdpi='100'>\| \Delta \overline{a} \| \le \delta</tex>, <texdpi='100'>\delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a})</tex>, то <texdpi='100'>a</tex> {{---}} '''точка локального максимума'''. Аналогично определяется точка локального минимума.

Пусть <texdpi='100'>f</tex> дифференцируема в точке локального экстремума <texdpi='100'>a</tex>. Тогда <texdpi='100'>\forall j = 1..n : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0</tex>

Пусть для <texdpi='100'>f</tex> поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными <texdpi='100'>(x_0,y_0)</tex>. Известно, что в окрестности начальных данных<texdpi='100'>f_{\overline y}'</tex> непрерывно зависит от <texdpi='100'>\overline x,\overline y</tex> и непрерывно обратима в <texdpi='100'>(x_0,y_0)</tex>. Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует.

<texdpi='100'>z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)</tex>. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m: <texdpi='100'>\begin{cases} g_1(\overline x,\overline y)=0\\

<texdpi='100'>(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный максимум''' функции <texdpi='100'>f</tex>, если для всех <texdpi='100'>\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}</tex> и <texdpi='100'>(\overline x,\overline y)</tex>, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство <texdpi='100'>f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Если же <texdpi='100'>f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный минимум'''.

<texdpi='100'>(\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}</tex><texdpi='100'>\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{i= 0}^{n - 1} \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} f(\bar{x_i}, \bar{y_j}) \delta x_i \delta y_j</tex><texdpi='100'>|\Pi_{ij}| = \delta x_i \delta y_j</tex>Двойной интеграл <texdpi='100'>\iint\limits_\Pi f = \iint\limits_\Pi f(x, y) dx dy = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(f, \tau)</tex><texdpi='100'>\underline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} m_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>, <texdpi='100'>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>если <texdpi='100'>f</tex> - непрерывна на <texdpi='100'> \Pi </tex>, то существует <texdpi='100'>\iint\limits_\Pi f</tex>(достаточное условие интегрируемости).

* <texdpi='100'>\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \ \exists \int\limits_{\Pi_m} f</tex>* <texdpi='100'>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>

<texdpi='100'>E \subset \mathbb{R}^2</tex> '''квадрируема по Жордану''', если существует <texdpi='100'>\iint\limits_E 1</tex>. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.

Пусть <texdpi='100'>E</tex> - квадрируемый компакт на плоскости, <texdpi='100'>f</tex> непрерывна на <texdpi='100'>E</tex>. Тогда существует <texdpi='100'>\iint\limits_E f</tex>.

<texdpi='100'>\int \int dx dy = \int \int | J(u, v) | du dv </tex>

<texdpi='100'>\mathcal{J}(u_1, \ldots, u_n) = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial u_n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial x_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial u_n} \\\end{array}\right| \ne 0</tex><texdpi='100'>\int\limits_E f(\bar x) d \bar x = \int\limits_{E'} f(\bar x(\bar u)) |\mathcal{J}(\bar u)| d \bar u</tex>