51
правка
Изменения
→Условия согласованности
{{Определение
|id = system_execution
|definition = [[Файл: Happens before.png|400px|справа|thumb|Отношения между операциями <tex> e, f, g </tex> процессов <tex> P, Q, R </tex>]]'''Исполнение системы''' <tex>-</tex> это пара <tex> (H, \rightarrow_H)</tex>, где:
* <tex> H - </tex> множество '''операций''' <tex> e, f, g\ldots </tex> (чтение, запись ячеек памяти и т.п.), произошедших во время исполнения
* <tex> \rightarrow_H - </tex> это отношение частичного строгого порядка на множестве операций (транзитивное, антирефлексивное, асимметричное)
* <tex> e \rightarrow_H f </tex> означает, что операция <tex> e </tex> '''произошла до''' операции <tex> f </tex> в исполнении <tex> H </tex>
'''Замечание''': чаще всего исполнение <tex> H </tex> понятно из контекста и опускается<br /> }} {{Определение|id = parallel_ops|definition = Пусть <tex> e, f \in H. </tex> Тогда говорят, что <tex> e </tex> '''параллельна''' <tex> f </tex>, если <tex> e \not \rightarrow f \land f \not \rightarrow e. </tex> <br /> Обозначение: <tex> e || f </tex>
}}
{{Определение
|id = global_time_model |definition = [[Файл: Global time modeling.png|справа|400px|Отношения между операциями <tex> e, f, g </tex> процессов <tex> P, Q, R </tex> в модели глобального времени]]'''Модель глобального времени''' определим так, что это модель, в которой в качестве '''операции''' используется временной интервал: <tex> e = [t_{inv}(e), t_{res}(e)], </tex> причём <tex> t_{inv}(e), t_{res}(e) \in \mathbb{R} </tex>. Зададим в этой модели отношение <tex> \rightarrow </tex> следующим образом: <tex> e \rightarrow f = t_{inv}(f) > t_{res}(e) </tex>. Неформально это означает, что вход в функцию, выполняющую операцию <tex> f </tex>, был осуществлён строго позже, чем был получен результат работы функции, выполняющей операцию <tex> e </tex>. <br />'''Замечание''': глобального времени не существует из-за физических ограничений, поэтому в доказательствах такая модель не используется, но помогает при визуализации различных исполнений
}}
{{Определение
|id = restriction_on_thread
|definition = [[Файл: Well formed.png|справа|400px|Пример правильного и неправильного исполнения]]'''Сужение''' исполнения <tex> (H, \rightarrow) </tex> на поток <tex> P - </tex> исполнение, в котором остались только операции, происходящие в потоке <tex> P </tex>. <br /> Обозначение: <tex> \left.H\right|_P </tex>. Формально <tex> \left.H\right|_P = \{e \in H|\ proc(e) = P\}</tex> <br />}}{{Определение|id = well_formed_control_flow|definition = Исполнение называется '''правильным''' (англ. ''well-formed''), если его сужение на каждый поток <tex> P </tex> является последовательным.
}}
{{Определение
=== Условия согласованности ===
{{Определение
|id = agreement
|definition = '''Согласованность''' является аналогом ''корректности'' в многопоточном программировании. <br />
'''Базовое требование согласованности:''' корректные последовательные программы должны cчитаться согласованными при любом их исполнении в одном потоке
}}
{{Определение
|id = legacy_control_flow
|definition = Последовательное исполнение является '''допустимым''' (англ. ''legal''), если выполнены последовательные спецификации всех объектов.
}}
{{Определение
|id = legacy_control_flow
|definition = Исполнение '''последовательно согласовано''', если можно сопоставить '''эквивалентное''' ему (состоящее из тех же событий и операций) допустимое последовательное исполнение, которое сохраняет программный порядок, то есть порядок операций на каждом потоке. <br / > '''Замечание: ''' Последовательная согласованность на каждом объекте не влечёт последовательную согласованность исполнения
}}
[[Файл: Legal execution.png|400px|Допустимое и недопустимое исполнения]] [[Файл: Seq agreed.png|400px|Последовательно согласованное исполнение]] [[Файл: Contrexample seq agr on object.png|thumb|400px|справа|Пример отсутствия последовательной согласованности исполнения при последовательной согласованности на каждом объекте (<tex> s, t - </tex> две FIFO очереди)]]
{{Определение
|id = linearizabilty
|definition = Исполнение <tex> (H, \rightarrow_H) </tex> '''линеаризуемо''', если существует эквивалентное ему допустимое последовательное исполнение <tex> (L(H), \rightarrow_{L(H)}) </tex>, называемое '''линеаризацией''', и верно что <tex> \forall e, f \in H: e \rightarrow_H f \Rightarrow e \rightarrow_{L(H)} f </tex>, то есть сохраняется отношение "произошло до".
}}
[[Файл: Linearizability.png|400px|Пример линеаризуемого исполнения]]
=== Декомпозиция исполнения ===
|definition = Определим '''декомпозицию исполнения''' как пятёрку <tex> (H, G, \rightarrow_G, inv, res) </tex>, где
* <tex> H -</tex> множество '''операций''' <tex> (\forall e \in H: e \subset G) </tex>
* <tex> G -</tex> множество '''событий''' </tex>
* <tex> \rightarrow_G - </tex> отношение строгого порядка '''произошло до''' на '''событиях''' из <tex> G </tex>
* <tex> inv, res: H \rightarrow G - </tex> такие функции, что
== Свойства линеаризуемости ==
{{Определение
|id = linearization_points
|definition = Пусть дана декомпозиция <tex> (H, G, \rightarrow_G, inv, res) </tex>. Тогда определим '''точки линеаризации''' как функцию <tex> p: H \rightarrow G </tex> такую, что:
* <tex> \forall e \in H: p \neq inv(e) \land p \neq res(e) </tex>
* <tex> P = p(H) \subset G -</tex> множество всех точек линеаризации
* <tex> (L(P), \rightarrow_{L(P)}) -</tex> линеаризация <tex> (G, \rightarrow_G) </tex>, то есть <tex> \forall e, f \in H: p(e) \rightarrow_G p(f) \Rightarrow p(e) \rightarrow_{L(P)} p(f) </tex>
}}
{{Утверждение
|about=эквивалентное определение линеаризуемости
|statement=Пусть дана декомпозиция <tex> (H, G, \rightarrow_G, inv, res) </tex>.
Исполнение <tex> (H, \rightarrow_H) </tex> является линеаризуемым <tex> (L(H), \rightarrow_{L(H)}) </tex> тогда и только тогда, когда<tex>^*</tex> верны два условия:
# Можно выбрать '''точки линеаризации''' <tex> p: H \rightarrow G </tex>
# <tex> \forall e, f \in H: e \rightarrow_{L(H)} f \Leftrightarrow p(e) \rightarrow_{L(P)} p(f) </tex>
<tex>*</tex> Для существования точек линеаризации из линеаризации необходимо, чтобы бы выполнялось: <tex> \forall e, f \in H: e \rightarrow_{L(H)} f \Rightarrow \exists a \in e, b \in f: a \rightarrow_G b. </tex>
|proof=
<tex> \Leftarrow </tex>
Пусть есть точки линеаризации <tex> \forall e \in H: p(e) \in G </tex>, полный порядок <tex> \rightarrow_{L(P)} </tex> над ними. Требуется найти линеаризацию <tex> (L(H), \rightarrow_{L(H)}) </tex>. Определим <tex> L(H) </tex> как <tex> H </tex>, так как они по определению линеаризации должны быть эквивалентны, а <tex> \rightarrow_{L(H)} </tex> определим, воспользовавшись вторым условием предпосылки. Докажем корректность такой линеаризации, то есть что <tex> \forall e, f \in H: e \rightarrow_H f \Rightarrow e \rightarrow_{L(H)} </tex>:
# <tex> e \rightarrow_H f </tex> (дано)
# <tex> res(e) \rightarrow_G inv(f) </tex> (по определению <tex> \rightarrow_H </tex>)
# <tex> p(e) \rightarrow_G res(e) </tex> (по определению декомпозиции и точек линеаризации)
# <tex> inv(f) \rightarrow_G p(f) </tex> (по определению декомпозиции и точек линеаризации)
# <tex> p(e) \rightarrow_G p(f) </tex> (по транзитивности)
# <tex> p(e) \rightarrow_{L(P)} p(f) </tex> (по определению линеаризации)
# <tex> p(e) \rightarrow_{L(H)} p(f) </tex> (по определению <tex> \rightarrow_{L(H)} </tex>)
<tex> \Rightarrow </tex>
Добавим '''события''' <tex> \forall e \in H: p(e) </tex> в <tex> G </tex> такие, что <tex> inv(e) \rightarrow_G p(e) \rightarrow_G res(e) </tex> и для которых выполнено требование из <tex>*</tex>. Эти точки и будут точками линеаризации. Итак, построены точки линеаризации, которые, очевидно, сохраняют линеаризацию по их построению.
}}
'''Следствие 1.''' Для модели глобального времени эта теорема верна в обе стороны: действительно дополнительное требование выполняется, так как каждая операция в нём является непрерывным множеством.
'''Следствие 2.''' Чтобы среди точек линеаризации был порядок, согласованный с семантикой низкоуровневых операций, достаточно чтобы операции низкого уровня были атомарны (линеаризуемы)
== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Linearizability Linearizability]
* [https://cs.brown.edu/~mph/HerlihyW90/p463-herlihy.pdf Maurice P. Herlihy and Jeannette M. Wing {{---}} Linearizability: A Correctness Condition for Concurrent Objects]
[[Категория: Параллельное программирование]]
