Вопросы к экзамену по математическому анализу за 3 семестр — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 40: Строка 40:
 
# Вычисление меры множества посредством его сечений.
 
# Вычисление меры множества посредством его сечений.
 
# Теорема Фубини.
 
# Теорема Фубини.
 +
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 06:45, 17 января 2012

  1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры).
  2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства.
  3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце.
  4. Понятие о [math]\mu^*[/math]-измеримых множествах. Доказательство основной теоремы.
  5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы.
  6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори.
  7. Критерий [math]\mu^*[/math]-измеримости.
  8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства.
  9. Объем, как мера на полукольце ячеек.
  10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые).
  11. Теорема о внешней мере в R^n.
  12. Структура измеримого по Лебегу множества.
  13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега.
  14. Арифметика измеримых функций.
  15. Измеримость поточечного предела измеримых функций.
  16. Эквивалентные функции и сходимость почти всюду.
  17. Предел по мере и его единственность.
  18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере.
  19. Теорема Рисса.
  20. Теорема Егорова.
  21. Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше.
  22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега.
  23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции.
  24. Счетная аддитивность интеграла.
  25. Абсолютная непрерывность интеграла.
  26. Арифметические свойства интеграла Лебега.
  27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
  28. Определение интеграла от суммируемой функции.
  29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций.
  30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций.
  31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака.
  32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
  33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов.
  34. Теорема Фату.
  35. Неравенства Гельдера и Минковского.
  36. Пространства, [math]L_p[/math] полнота.
  37. Всюду плотность множества С в пространствах [math]L_p[/math].
  38. Мера цилиндра.
  39. Мера подграфика.
  40. Вычисление меры множества посредством его сечений.
  41. Теорема Фубини.