403
правки
Изменения
м
minus --> plus
<tex>\varepsilon \in (0, 1)</tex>, тогда <tex>{1 \over 1 - \varepsilon} > 1</tex>, <tex>\exists y_{\varepsilon} \in Y: \| x_0 - y_{\varepsilon} \| < {1 \over 1 - \varepsilon} d</tex>. Рассмотрим <tex>z_{\varepsilon} = {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|}, \| z_{\varepsilon}\| = 1</tex>
<tex>\forall y \in Y: \| z_{\varepsilon} - y \| = \left\| {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|} - y \right\| = {\| x_0 - y_{\varepsilon} - y \| x_0 - y_{\varepsilon} \| \| \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \| }</tex>. <tex>y_{\varepsilon} - + y \| x_0 - y_{\varepsilon}\|</tex> по линейности <tex>Y</tex> лежит в <tex>Y</tex> так как оно замкнуто, тогда числитель будет больше <tex>d</tex>, а знаменатель — меньше <tex>{1 \over 1 - \varepsilon} d</tex>, то есть дробь будет больше <tex>1 - \varepsilon</tex>.
Таким образом, для любого <tex>y</tex> из <tex>Y</tex> подобрали <tex>z_{\varepsilon}</tex> из <tex>X</tex>, что <tex>\|z_{\varepsilon} - y \|</tex> не меньше <tex>1 - \varepsilon</tex>, а тогда и <tex>\rho(z_{\varepsilon}, Y)</tex> будет не меньше <tex>1 - \varepsilon</tex> по свойствам инфимума.
