Изменения

'''Скалярным произведением''' в действительном линейном пространстве <tex>X</tex> называется функция <tex>\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{R}</tex>, удовлетворяющяя удовлетворяющая следующим аксиомам:

По равенству параллелограмма, <tex>\|2x-(x_n+x+mx_m)\|^2\|+\|x_m-x_n\|^2 = 2(\|x-x_n\|^2+\|x_m-x\|^2)</tex>.  Так как <tex>\frac{x_n+x_m}{2}\in H_1</tex>, то <tex>\|x-\frac{x_n-+x_m}2\|\ge d</tex> или <tex>\|2x-(x_n+x_m)\|^2\|\ge 4d^2\|</tex>.  Тогда получаем, что <tex>\|x_m-x_n\|^2\le2(d_n^2+d_m^2)-4d^2</tex>. Но <tex>d_n, d_m \to d</tex>, и потому <tex>\|x_m-x_n\|_{n,m\to\infty}\to0</tex>, то есть, последовательность <tex>\{x_n\}</tex>{{---}}фундаментальная.  Вследствие полноты <tex>H</tex>, существует <tex>x'=\lim x_n</tex>, а так как множество <tex>H_1</tex> замкнуто (по определению подпространства), то <tex>x'\in H_1</tex>.  При этом <tex>\|x-x'\|=\lim \|x-x_n\|</tex> и из <tex>\|x-x_n\|\le d_n</tex> следует, что <tex>\|x-x'\|\le d</tex>. Но так как знак «меньше» невозможен, то <tex>\|x-x'\|=d<меньше/tex>.  Теперь положим <tex>x''=x-x'</tex> и покажем, что <tex>x''\in H_2</tex> невозможен, то есть, <tex>x'' \perp H_1</tex>. Возьмём <tex>y\in H_1\setminus \{0\}</tex>. При любом <tex>\lambda</tex> имеем <tex>x'+\lambda y \in H_1</tex>, так что <tex>\|x''-\lambda y\|^2=\|x-(x'+\lambda y)\|^2 \ge d^2</tex>, что можно, воспользовавшись <tex>\|x-x'\|=d</tex>, переписать в форме: <tex>-\lambda \langle x'',y\rangle-\lambda\langle y,x''\rangle +|\lambda|^2\langle y,y\rangle \ge 0</tex>. В частности, при <tex>\lambda=\frac{\langle x'',y\rangle }{\langle y,y\rangle }</tex> получаем отсюда: <tex>-\frac{|\langle x'',y\rangle |^2}{\langle y,y\rangle }-\frac{|\langle x'',y\rangle|^2}{\langle y,y \rangle}+\frac{|\langle x'',y \rangle|^2}{\langle y,y \rangle}\ge 0</tex>, то есть, <tex>|\langle x'',y \rangle|^2 \le 0</tex>, что может быть только лишь в случае <tex>\langle x'',y \rangle=0</tex>.

Теперь положим <tex>x''=x-x'</tex> и покажем, что <tex>x''\in H_2</tex>, то есть, <tex>x'' \perp H_1</tex>. Возьмём <tex>y\in H_1\setminus \{\varnothing\}</tex>. При любом <tex>\lambda</tex> имеем <tex>x'+\lambda y \in H_1</tex>, так что <tex>\|x''-\lambda y\|^2=\|x-(x'+\lambda y)\|^2 \ge d^2</tex>, что можно, воспользовавшись <tex>\|x-x'\|=d</tex>, переписать в форме {{TODO|t=wtf лямбда с палкой}}<tex>-\bar\lambda(x'',y)-\lambda(y,x'')+|\lambda|^2(y,y)\ge 0</tex>. В частности, при <tex>\lambda=\frac{(x'',y)}{(y,y)}</tex> получаем отсюда <tex>-\frac{|(x'',y)|^2}{(y,y)}-\frac{|(x'',y)|^2}{(y,y)}+\frac{|(x'',y)|^2}{(y,y)}\ge 0</tex>, то есть, <tex>|(x'',y)|^2 \le 0</tex>, что может быть только лишь в случае <tex>(x'',y)=0</tex>. Итак, возможность представления <tex>x</tex> в форме <tex>x=x'+x''</tex> и соотношение <tex>\|x-x'\|=\rho(x, H_1)\|</tex> установлены.

Докажем единственность такого представления. В самом деле, если <tex>x=x_1'+x_1''</tex>(<tex>x_1'\in H_1</tex>,<tex>x_1''\in H_2</tex>), то сопоставив это с <tex>x=x'+x''</tex>, получим <tex> x'-x_1'=x_1''-x''</tex>.  Поскольку <tex>x'-x_1' \in H_1</tex>, <tex>x_1''-x''\in H_2</tex>, то <tex>x'-x_1' \perp x_1''-x''</tex>, откуда получаем <tex>x'-x_1' = x_1''-x'' = 0</tex>.{{TODO|t=Чукча не читатель, чукча писатель. Проверить, правильно ли переписано}}

Теперь, пусть <tex> \beta_k = (x, l_ke_k) </tex>, имеем <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, e_k)^2 </tex>, устремив <tex> n </tex> к бесконечности, получим требуемое.