Изменения

{{Определение|definition='''Скалярным произведением''' в действительном линейном пространстве <tex>X</tex> называется функция <tex>\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{R}</tex>, удовлетворяющая следующим аксиомам:# <tex>\langle x, x \rangle \ge 0</tex> и <tex>\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0</tex># <tex>\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle</tex># <tex>\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle</tex>Пару из линейного пространства и скалярного произведения на нем называют '''евклидовым пространством''' (в конспекте: унитарное пространство)}} Пример:* <tex>X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k</tex>* <tex>X = \ell_2</tex>, то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится (<tex>x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 < + \infty</tex>). <tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i</tex>, сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны [[Нормированные пространства#Пространство последовательностей | тут]]. В УП выполняется [[Нормированные пространства#Гильбертовы пространства | неравенство Шварца]] : <tex>|\langle x, y\rangle| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}</tex> УП — частный случай [[Нормированные пространства | нормированных пространств]]: можно ввести норму как <tex>\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</tex>, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется. Для нормы, порожденной скалярным произведением выполняется '''равенство параллелограмма''': <tex>\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2</tex>. {{Определение|definition='''Гильбертовым пространством''' называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.}} {{Теорема|statement=Пусть <tex>M</tex> — выпуклое замкнутое множество в <tex>H</tex>, тогда <tex>\forall x \in H\ \exists z \in M: \| x - z \| = \inf\limits_{y \in M} \| x - y\|</tex>. <tex>z</tex> называется '''элементом наилучшего приближения'''|proof=[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах]]}} {{Определение|definition=Говорят, что два элемента <tex> x, y </tex> гильбертова пространства <tex> H </tex> '''перпендикулярны''' (<tex> x \perp y </tex>), если <tex> \langle x, y \rangle = 0. </tex>}} {{Определение|definition=Пусть <tex>H_1</tex> — подпространство в <tex>H</tex>, тогда '''ортогональным дополнением''' называется <tex>H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}</tex>.}} {{Теорема|statement=Пусть <tex> H_1 </tex> — подпространство в <tex>H</tex>, <tex> H_2 </tex> {{---}} его ортогональное дополнение. Тогда для любого <tex> x \in H </tex> существует единственное представление <tex> x = x_1 + x_2 </tex>, где <tex> x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 </tex> и <tex> x_1 \perp x_2 </tex>.|proof=Доказательство из [http://www.apmath.spbu.ru/ru/education/final/question07.pdf] Положим <tex>d = \rho(x, H_1)</tex>, <tex>d_n=d+\frac1n</tex> и для каждого <tex>n\in\mathbb{N}</tex> найдём <tex>x_n \in H_1</tex> такой, что <tex>\|x-x_n\|<d_n</tex>.  По равенству параллелограмма, <tex>\|2x-(x_n+x_m)\|^2+\|x_m-x_n\|^2 = 2(\|x-x_n\|^2+\|x_m-x\|^2)</tex>. Так как <tex>\frac{x_n+x_m}{2}\in H_1</tex>, то <tex>\|x-\frac{x_n+x_m}2\|\ge d</tex> или <tex>\|2x-(x_n+x_m)\|^2\ge 4d^2</tex>. Тогда получаем, что <tex>\|x_m-x_n\|^2\le2(d_n^2+d_m^2)-4d^2</tex>. Но <tex>d_n, d_m \to d</tex>, и потому <tex>\|x_m-x_n\|_{n,m\to\infty}\to0</tex>, то есть, последовательность <tex>\{x_n\}</tex> {{---}} фундаментальная. Вследствие полноты <tex>H</tex>, существует <tex>x'=\lim x_n</tex>, а так как множество <tex>H_1</tex> замкнуто (по определению подпространства), то <tex>x'\in H_1</tex>. При этом <tex>\|x-x'\|=\lim \|x-x_n\|</tex> и из <tex>\|x-x_n\|\le d_n</tex> следует, что <tex>\|x-x'\|\le d</tex>. Но так как знак «меньше» невозможен, то <tex>\|x-x'\|=d</tex>.  Теперь положим <tex>x''=x-x'</tex> и покажем, что <tex>x''\in H_2</tex>, то есть, <tex>x'' \perp H_1</tex>. Возьмём <tex>y\in H_1\setminus \{0\}</tex>. При любом <tex>\lambda</tex> имеем <tex>x'+\lambda y \in H_1</tex>, так что <tex>\|x''-\lambda y\|^2=\|x-(x'+\lambda y)\|^2 \ge d^2</tex>, что можно, воспользовавшись <tex>\|x-x'\|=d</tex>, переписать в форме: <tex>-\lambda \langle x'',y\rangle-\lambda\langle y,x''\rangle +|\lambda|^2\langle y,y\rangle \ge 0</tex>. В частности, при <tex>\lambda=\frac{\langle x'',y\rangle }{\langle y,y\rangle }</tex> получаем отсюда: <tex>-\frac{|\langle x'',y\rangle |^2}{\langle y,y\rangle }-\frac{|\langle x'',y\rangle|^2}{\langle y,y \rangle}+\frac{|\langle x'',y \rangle|^2}{\langle y,y \rangle}\ge 0</tex>, то есть, <tex>|\langle x'',y \rangle|^2 \le 0</tex>, что может быть только лишь в случае <tex>\langle x'',y \rangle=0</tex>. Итак, возможность представления <tex>x</tex> в форме <tex>x=x'+x''</tex> и соотношение <tex>\|x-x'\|=\rho(x, H_1)</tex> установлены. Докажем единственность такого представления. В разработкесамом деле, если <tex>x=x_1'+x_1''</tex> (<tex>x_1'\in H_1</tex>,<tex>x_1''\in H_2</tex>), то сопоставив это с <tex>x=x'+x''</tex>, получим <tex> x'-x_1'=x_1''-x''</tex>. Поскольку <tex>x'-x_1' \in H_1</tex>, <tex>x_1''-x''\in H_2</tex>, то <tex>x'-x_1' \perp x_1''-x''</tex>, откуда получаем <tex>x'-x_1' = x_1''-x'' = 0</tex>.}} {{Лемма|author=Рисc|about=о почти перпендикуляре|statement=Пусть <tex>X</tex> — НП, а <tex>Y</tex> {{---}} собственное (то есть не совпадающее с <tex>X</tex>) подпространство <tex>X</tex>, тогда <tex>\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon</tex> (где <tex>\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|</tex>)|proof=Если <tex>Y</tex> — строго подмножество <tex>X</tex>, то существует <tex>x_0 \notin Y</tex>. <tex>d = \rho(x_0, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \| x_0 - y \|</tex> Пусть <tex>d = 0</tex>, тогда <tex>\forall n \in \mathbb{N} \exists y_n \in Y: \| x_0 - y_n \| < {1 \over n}</tex>, то есть <tex>y_n \to x_0</tex>. <tex>Y</tex> — замкнутое, следовательно, <tex>x_0 \in Y</tex>, то есть получили противоречие и <tex>d > 0</tex>. <tex>\varepsilon \in (0, 1)</tex>, тогда <tex>{1 \over 1 - \varepsilon} > 1</tex>, <tex>\exists y_{\varepsilon} \in Y: \| x_0 - y_{\varepsilon} \| < {1 \over 1 - \varepsilon} d</tex>. Рассмотрим <tex>z_{\varepsilon} = {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|}, \| z_{\varepsilon}\| = 1</tex> <tex>\forall y \in Y: \| z_{\varepsilon} - y \| = \left\| {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|} - y \right\| = {\| x_0 - y_{\varepsilon} - y \| x_0 - y_{\varepsilon} \| \| \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \| }</tex>. <tex>y_{\varepsilon} + y \| x_0 - y_{\varepsilon}\|</tex> по линейности <tex>Y</tex> лежит в <tex>Y</tex> так как оно замкнуто, тогда числитель будет больше <tex>d</tex>, а знаменатель — меньше <tex>{1 \over 1 - \varepsilon} d</tex>, то есть дробь будет больше <tex>1 - \varepsilon</tex>. Таким образом, для любого <tex>y</tex> из <tex>Y</tex> подобрали <tex>z_{\varepsilon}</tex> из <tex>X</tex>, что <tex>\|z_{\varepsilon} - y \|</tex> не меньше <tex>1 - \varepsilon</tex>, а тогда и <tex>\rho(z_{\varepsilon}, Y)</tex> будет не меньше <tex>1 - \varepsilon</tex> по свойствам инфимума.}}  Смысл данной леммы состоит в том, что в произвольном нормированном пространстве <tex> X </tex> для сколь угодно малого <tex> \varepsilon </tex> и произвольного подпространства <tex> Y </tex> найдется элемент, который будет к нему перпендикулярен с точностью до <tex> \varepsilon </tex>. {{Теорема|about=некомпактность шара в бесконечномерном пространстве|statement=Если <tex>X</tex> - бесконечномерное НП, то единичный шар <tex>S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}</tex> в нем не компактен.|proof=Возьмем <tex>x \in S_1</tex>, <tex>Y_1 = \mathcal{L}(x_1)</tex> — собственное подпространство <tex>X</tex>, применим лемму Рисса, возьмем <tex>\varepsilon = {1 \over 2}</tex>, существует <tex>x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}</tex>, заметим, что <tex>x_2</tex> окажется в <tex>S_1</tex>. <tex>Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)</tex>, опять применим лемму Рисса, существует <tex>x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2</tex>, <tex>x_3</tex> будет в <tex>S_1</tex>. Продолжаем так же для <tex>Y_3 \dots Y_n \dots</tex>. Процесс никогда не завершится, так как <tex>X</tex> — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в <tex>S_1</tex>, из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как <tex>\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}</tex>, следовательно, <tex>S_1</tex> не компактно.}} В Гильбертовых пространствах важно понятие ортонормированной системы точек: <tex>e_1 \dots e_n \dots \in H, \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}</tex>. Рассмотрим для точки <tex>x \in H</tex> абстрактный ряд Фурье <tex>\sum_{i=1}^{\infty} \langle x, e_i \rangle e_i</tex>, <tex>\langle x, e_i\rangle</tex> называют абстрактными коэффициентами Фурье. <tex>T_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in \mathcal{L}(e_1 \dots e_n) = H_n</tex> {{Теорема|statement=<tex>\forall x \in H: \inf\limits_{h \in H_n} \|x - h \| = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| </tex>. |proof=Доказательство есть здесь: [[L_2-теория рядов Фурье]].}} {{Теорема|author=Бессель|about=неравенство Бесселя|statement=<tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle^2 \le \|x\|^2</tex>|proof=Для некоторого набора коэффициентов <tex> \beta_k </tex> рассмотрим скалярное произведение: <tex> 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k, x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x, e_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = </tex> <tex> = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, e_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, e_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle ^2 </tex>.Теперь, пусть <tex> \beta_k = (x, e_k) </tex>, имеем <tex> 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, e_k)^2 </tex>, устремив <tex> n </tex> к бесконечности, получим требуемое.}} Интересно рассмотреть, когда для всех <tex>x</tex> неравенство превращается в равенство. {{Теорема|about=равенство Парсеваля|statement=<tex>\forall x: \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle ^2 </tex> тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая.|proof=Это доказательство (правда, по кускам) тоже есть здесь: [[L_2-теория рядов Фурье]]. }} {{Теорема|author=Рисс-Фишер|statement=Пусть <tex>\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}</tex> - ортонормированная система в гильбертовом пространстве <tex>H</tex>, <tex>\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 < +\infty</tex>. Тогда <tex>\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle</tex> и выполняется '''равенство Парсеваля''': <tex>\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2</tex>|proof=И это доказательство тоже здесь есть: [[L 2-теория рядов Фурье#Теорема Рисса-Фишера|Теорема Рисса-Фишера]].}} Можно задаться вопросом: какое топологическое свойство характеризует существование ортонормированного базиса? {{Теорема|statement=Пусть <tex>H</tex> {{---}} сепарабельное. Тогда в <tex> H </tex> существует ортнормированный базис.|proof=<tex>\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H</tex> — счетное всюду плотное. <tex>\mathrm{Cl}\mathcal{L}(a_1 \dots a_n \dots) = H</tex>, следовательно, надо превратить в ОНС, чтобы линейная оболочка совпала. ОНС строится процедурой Грама-Шмидта.}} == Ссылки ==* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product Dot product]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Sequence_space Sequence space]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Riesz's_lemma Riesz's lemma]   [[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]