Граф замен — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
'''Граф замен''' — специальный [[Основные определения теории графов|ориентированный двудольный граф]], фигурирующий в [[Теорема Эдмондса-Лоулера|теореме Эдмондса-Лоулера]].
 
'''Граф замен''' — специальный [[Основные определения теории графов|ориентированный двудольный граф]], фигурирующий в [[Теорема Эдмондса-Лоулера|теореме Эдмондса-Лоулера]].
  
Пусть даны  матроиды <tex>M_1 = \langle S, I_1 \rangle</tex>, <tex>M_2 = \langle S, I_2 \rangle</tex>,  множество <tex>I = (I_1 \cap I_2)</tex>. Введем граф замен.  
+
Пусть даны  матроиды <tex>M_1 = \langle S, \mathcal{I}_1 \rangle</tex>, <tex>M_2 = \langle S, \mathcal{I}_2 \rangle</tex>,  множество <tex>(\mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2)</tex>. Введем граф замен.  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
'''Граф замен для двух матроидов''' <tex>D_{M_1, M_2}(I)</tex> {{---}} граф, левой долей которого являются элементы множества <tex>I</tex>, правой — все остальные элементы <tex>S</tex> и в котором проведены ребра <tex>(y, z): y \in I,  z \in S \setminus I,  I \setminus y \cup z \in I_1</tex>, а также <tex>(z', y'): y' \in I, z' \in S \setminus I, I \setminus y' \cup z' \in I_2</tex>
+
'''Граф замен для двух матроидов''' <tex>D_{M_1, M_2}(I)</tex> {{---}} граф, левой долей которого являются элементы множества <tex>I</tex>, правой — все остальные элементы <tex>S</tex> и в котором проведены ребра <tex>(y, z): y \in I,  z \in S \setminus I,  I \setminus y \cup z \in \mathcal{I}_1</tex>, а также <tex>(z', y'): y' \in I, z' \in S \setminus I, I \setminus y' \cup z' \in \mathcal{I}_2</tex>
 
}}
 
}}
  

Версия 23:36, 14 апреля 2016

Граф замен — специальный ориентированный двудольный граф, фигурирующий в теореме Эдмондса-Лоулера.

Пусть даны матроиды [math]M_1 = \langle S, \mathcal{I}_1 \rangle[/math], [math]M_2 = \langle S, \mathcal{I}_2 \rangle[/math], множество [math](\mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2)[/math]. Введем граф замен.

Определение:
Граф замен для двух матроидов [math]D_{M_1, M_2}(I)[/math] — граф, левой долей которого являются элементы множества [math]I[/math], правой — все остальные элементы [math]S[/math] и в котором проведены ребра [math](y, z): y \in I, z \in S \setminus I, I \setminus y \cup z \in \mathcal{I}_1[/math], а также [math](z', y'): y' \in I, z' \in S \setminus I, I \setminus y' \cup z' \in \mathcal{I}_2[/math]


Пусть [math]X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_2 \}, P[/math] — кратчайший путь в [math]D_{M_1, M_2}(I)[/math] из [math]X_1[/math] в [math]X_2[/math]. Тогда алгоритм с помощью этого пути либо определяет максимальность набора [math]I[/math], либо позволяет найти набор большей мощности.

Граф замен [math]D_{M_1, M_2}(I)[/math]

Также существует граф замен для одного матроида.

Определение:
Пусть дан матроид [math]M = (S, I)[/math] и независимый сет [math]I \in I[/math]. Тогда граф замен [math]D_{M}(I)[/math] (или просто [math]D(I)[/math]) — это двудольный граф с долями [math]I[/math] и [math]S \setminus I[/math] с рёбрами между [math]y \in I[/math] и [math]x \in S \setminus I[/math] если [math] I - y + x \in I [/math]


Лемма (о единственном паросочетании в подграфе замен, индуцированном кратчайшим путем):
Пусть дан двудольный граф замен. В его правой доле можно выделить два подмножества вершин [math]X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_2 \}[/math]. Пусть [math]P[/math] — кратчайший путь из [math]X_1[/math] в [math]X_2[/math]. Рассмотрим сужение [math]G'[/math] графа [math]G[/math] на множество вершин, лежащих в пути [math]P[/math].
Тогда в [math]G'[/math] существует единственное полное паросочетание.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рис. 1
Рис. 2

Строго говоря, утверждение теоремы не совсем корректно, так как в правой доле полученного графа [math]G'[/math] вершин на одну больше, чем в левой. Поэтому добавим в [math]G'[/math] фиктивную вершину и отнесем ее к левой доле. Пусть путь [math]P = (a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots , a_k, b_k)[/math], где [math]a_1[/math] — фиктивная вершина (рис. 1).

Существование полного паросочетания очевидно — это ребра [math](a_i,b_i)[/math].

Предположим, что существует другое паросочетание [math](a_i, b_{j_i})[/math]. Тогда пусть [math]i_0 = \min \{ i \: \mid \: j_i \lt i \}[/math]. Обозначим [math]j_{i_0}[/math] как [math]i_1[/math]. Заметим, что [math]i_1 \lt i_0[/math] и поэтому не может быть [math]j_{i_1} \lt i_1[/math], ведь [math]i_0[/math] — минимальное из соответствующего множества. Так же невозможно [math]j_{i_1} = i_1[/math], поскольку тогда [math]a_{i_0}[/math] и [math]a_{i_1}[/math] имели бы одинаковую пару. Следовательно, [math]j_{i_1} \gt i_1[/math] (рис. 2). Это значит, что существует путь [math]P_1 = (a_1, b_1, \ldots, a_{i_1}, b_{j_{i_1}}, a_{j_{i_1} + 1}, \ldots, a_k, b_k )[/math] короче, чем [math]P[/math].

Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации