Изменения

|definition=[[Группа ]] <tex>G</tex> '''действует на множестве''' (англ. ''acts on a set'') <tex>X</tex>, если задано отображение <tex>G \times X \rightarrow X</tex> (обозначается <tex>g \cdot x</tex>), такое что для любого <tex>x \in X</tex>, а также для любых <tex>g_1, g_2 \in G</tex> оно обладает свойствами:# <tex>(g_1 \cdot circ g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x)</tex>(здесь <tex>g_1 \circ g_2</tex> — групповая операция)# <tex>\varepsilon e \cdot x = x</tex>

|definition=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множестве <tex>X</tex>. Введем на <tex>X</tex> [[отношение эквивалентности ]] <tex>\sim</tex> для <tex>x, y \in X</tex>: <tex>x \sim y</tex>, если <tex>\exists g \in G : x = g \cdot y</tex>. Тогда, если <tex>x \sim y</tex>, то говорят, что <tex>x</tex> и <tex>y</tex> '''равны с точностью до группы'''.

# Рефлексивность. Для любого <tex>x \in X</tex> верно <tex>x = \varepsilon e \cdot x</tex>, значит <tex>x \sim x</tex>.# Симметричность. Пусть <tex>x \sim y</tex> для некоторых <tex>x, y \in X</tex>. Тогда существует <tex>g \in G</tex>, такое что <tex>x = g \cdot y</tex>. Пользуясь свойствами групп, получаем следующие равенства: <tex>g^{-1} \cdot x = g^{-1} \cdot (g \cdot y) = (g^{-1} \cdot g) \cdot y = \varepsilon e \cdot y = y</tex>. То есть <tex>g^{-1} \cdot x = y</tex>. Значит, <tex>y \sim x</tex>.

|definition=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. Тогда '''орбитой''' (англ. ''orbit'') элемента <tex>x \in X</tex> называется множество: <tex>Orb(x) = \{y \in X \mid \exists g \in G : g \cdot x = y\}</tex>. Множество всех орбит обозначается так: <tex>X/G</tex>.

Иными словами, орбитой элемента множества <tex>X</tex> в группе <tex>G</tex> называется порожденный им класс эквивалентности по отношению <tex>\sim</tex>.Задача подсчета количества классов эквивалентности является нетривиальной и решается в общем случае при помощи [[Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа|Леммы Бёрнсайда]]. 

|definition=Элемент <tex>x \in X</tex> называется '''неподвижной точкой''' (англ. ''fixed point'') элемента <tex>g \in G</tex>, если <tex>g \cdot x = x</tex>

|definition=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. Тогда '''стабилизатором''' (англ. ''stabilizer'') элемента <tex>g \in G</tex> называется множество его неподвижных точек: <tex>St(g) = \{x \in X \mid g \cdot x = x\}</tex>}} Далее приведены несколько несложных и полезных на практике утверждений. {{Утверждение|id=stab|statement=<tex>Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y)</tex>|proof=<tex>Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow \exists g_1, g_2 \in G : g_1 \cdot x = g_2 \cdot y \Rightarrow x = g_1^{-1} \cdot (g_2 \cdot y) = (g_1^{-1} \cdot g_2) \cdot y \Rightarrow x \in Orb(y)</tex> Заметим, что <tex>\forall g \in G: g \cdot x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y)</tex> Аналогично доказывается, что <tex>Orb(y) \subseteq Orb(x)</tex> Таким образом, <tex>Orb(x) = Orb(y)</tex>}}  {{Утверждение|id=stab|statement=<tex>\sum\limits_{x \in X} |\{g \in G \mid g \cdot x = x \}| = \sum\limits_{g \in G} |St(g)|</tex>|proof=<tex>\sum\limits_{x \in X} |\{g \in G \mid g \cdot x = x \}| = \sum\limits_{x \in X} \sum\limits_{g \in G} \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{если $g \cdot x = x$}\\ 0 & \textrm{иначе} \end{array} \right. = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{x \in X} \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{если $g \cdot x = x$}\\ 0 & \textrm{иначе} \end{array} \right. = \sum\limits_{g \in G} |St(g)|</tex>