Действие группы на множестве — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 39: Строка 39:
 
<tex> Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y) </tex>
 
<tex> Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y) </tex>
 
|proof=
 
|proof=
<math> Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow \exist g_1, g_2 \in G : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y) </math>. <br>
+
<tex>Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow</tex> <math>\exist</math> <tex>  g_1, g_2 \in G : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y) </tex>. <br>
  
 
Аналогично доказываем, что <tex>Orb(y) \subseteq Orb(x)</tex>, откуда следует, что <tex>Orb(x) = Orb(y)</tex>
 
Аналогично доказываем, что <tex>Orb(y) \subseteq Orb(x)</tex>, откуда следует, что <tex>Orb(x) = Orb(y)</tex>

Версия 01:18, 30 июня 2010

Эта статья находится в разработке!

Пусть имеется множество [math]X[/math].

Определение:
[math]G[/math] действует на [math]X[/math], если
  1. [math] \forall g \in G , x \in X \quad gx \in X [/math]
  2. [math] \forall g_1, g_2 \in G , x \in X \quad (g_1 g_2)x = g_1(g_2 x) [/math]
  3. [math] \forall x \in X \quad ex = x [/math]


Определение:
Орбита [math]Orb(x)=\{gx \mid g \in G\}[/math]


Определение:
Стабилизатор [math]St(x)=\{g \in G \mid gx = x\}[/math]



Определение:
Фиксатор [math]Fix(g)=\{x \in X \mid gx = x\}[/math]


Утверждение:
Стабилизатор замкнут относительно операции в группе (умножения)
[math]\triangleright[/math]
[math] \forall g_1, g_2 \in G g_1, g_2 \in St(x) \Rightarrow g_1 x = x \And g_2 x = x \Rightarrow (g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = g_1 x=x [/math]
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
[math] Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y) [/math]
[math]\triangleright[/math]

[math]Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow[/math] [math]\exist[/math] [math] g_1, g_2 \in G : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y) [/math].

Аналогично доказываем, что [math]Orb(y) \subseteq Orb(x)[/math], откуда следует, что [math]Orb(x) = Orb(y)[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Видно, что бинарное отношение [math]x \mathcal R y \Leftrightarrow Orb(x) = Orb(y)[/math] является отношением эквивалентности на [math]X[/math] и разбивает его на независимые классы эквивалентности − орбиты. Можно поставить задачу о нахождении количества орбит, которая решается с помощью леммы Бернсайда.