Изменения

'''Лемма о разрастании'''<ref>Лемму также часто называют (лемма о накачке, англ. ''леммой о накачкеpumping lemma''.</ref> ) — лемма, позволяющая во многих случаях проверить, является ли данный язык [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярным]].__TOC__== Лемма о разрастании == 

|about=о разрастании, о накачке

<br/>Возьмём произвольное слово <tex>\omega</tex> длины не меньше <tex>n</tex> из языка <tex>L</tex>. Рассмотрим переходы в автомате <tex>\langle s,\omega\rangle \vdash\langle u_1, \omega[0]^{-1}\omega\rangle\vdash\dots\vdash\langle u_{l},\varepsilon\rangle, \: l\geqslant n</tex>. Так как <tex>l</tex> не меньше количества состояний в автомате <tex>n</tex>, то в переходах будет совпадение. Пусть <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> — первое совпадение. Тогда, повторяя участок слова <tex>\omega</tex>, который отвечает за переход от <tex>u_i</tex> к <tex>u_j</tex>, получаем слово, допускаемое автоматом. То есть, если верно <tex>\langle s, xyz\rangle \vdash^*\langle u_i, yz\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>, то тогда верно <tex>\langle s, xy^kz\rangle \vdash^*\langle u_i, y^kz\rangle\vdash^*\langle u_j, y^{k-1}z\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>. Тогда автомат <tex>A</tex> допускает слово <tex>xy^kz</tex>, следовательно <tex>xy^kz</tex> принадлежит регулярному языку <tex>L</tex>.<br />Наконец, поскольку <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> — первое совпадение, среди состояний <tex>s, u_1, \ldots, u_i, \ldots, u_{j-1}</tex> нет повторяющихся. Значит, выполняется требование <tex>|xy| \leqslant n</tex>.

'''Замечание.''' Условие леммы не является достаточным для регулярности языка. ''(См. [[#Пример нерегулярного языка, для которого выполняется лемма о разрастании|пример]])'' == Лемма о разрастании в общем виде =={{Лемма|id= ==lemma==|about=о разрастании, о накачке в общем виде|statement=Если язык <tex>L</tex> является регулярным, то существует число <tex>n \geqslant 1</tex> такое что для любого слова <tex>uwv</tex> из языка <tex>L</tex>, где <tex>|w| \geqslant n</tex> может быть записано в форме <tex>uwv = uxyzv</tex>,где слова <tex>x</tex>, <tex>y</tex> и <tex>z</tex> такие, что <tex>|xy| \leqslant n</tex>, <tex>|y| \geqslant 1</tex> и <tex>uxy^izv</tex> принадлежит языку <tex>L</tex> для любого целого числа <tex>i \geqslant 0</tex>.|proof=Исходя из формулировки леммы в общем виде, стандартная версия леммы, которая описана выше, является особым случаем, в котором строки <tex>u</tex> и <tex>v</tex> пусты. Доказательство леммы в общем виде аналогично доказательству стандартной версии леммы, с тем отличием, что строки <tex>u</tex> и <tex>v</tex> теперь могут быть как не пусты, так и пусты. }}'''Замечание.''' Поскольку лемма в общем виде накладывает более жесткие требования на язык, то она может быть использована для доказательства нерегулярности многих других языков, таких как <tex> L =\{ a^mb^nc^n : m \geqslant 1 , n \geqslant 1 \}</tex>. == Использование леммы для доказательства нерегулярности языков == Для доказательства без использования нерегулярности языка часто удобно использовать отрицание леммыо разрастании. Пусть <tex>L</tex> — язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Если для любого натурального <tex>n</tex> найдётся такое слово <tex>\omega</tex> из данного языка, что его длина будет не меньше <tex> n</tex> и при любом разбиении на три слова <tex>x,y,z</tex> такие, что <tex>y</tex> непустое и длина <tex>xy</tex> не больше <tex>n</tex>, существует такое <tex>k</tex>, что <tex>xy^kz \notin L</tex>, то язык <tex>L</tex> нерегулярный. Рассмотрим такой подход на примере языка правильных скобочных последовательностей. Для фиксированного <tex>n</tex> предъявляем слово <tex>\omega=(^n)^n</tex>. Пусть <tex>\omega</tex> как-то разбили на <tex>x, y, z</tex>. Так как <tex>|пример xy|\leqslant n</tex>, то <tex>y=(^b</tex>, где <tex>b > 0</tex>. Для любого такого разбиения берём <tex>k=2]]</tex> и получаем <tex>xy^kz=(^{n+b})^n</tex>, что не является правильной скобочной последовательностью. Значит, язык правильных скобочных последовательностей нерегулярен. == Пример нерегулярного языка, для которого выполняется лемма о разрастании=====Пример языка, удовлетворяющего стандартной версии леммы===Рассмотрим следующий язык: <tex>L= \{ a^{i}b^{j}c^{k} \mid i \ne 1, j \geqslant 0, k \geqslant 0\} \cup \{ ab^{i}c^{i} \mid i \geqslant 1\}</tex> '''Докажем, что он нерегулярный.''' Для этого рассмотрим вспомогательный язык <tex>L'= \{ ab^{i}c^{i} \mid i \geqslant 1\}</tex> и докажем его нерегулярность. Воспользуемся предложенным в предыдущем пункте подходом. Для фиксированного <tex>n</tex> выберем слово <tex>\omega=ab^nc^n</tex>. Заметим, что при любом разбиении <tex>\omega</tex> на <tex>x, y, z</tex> слово <tex> y </tex> не пусто (по условию леммы) и содержит только символы <tex> a </tex> и <tex> b </tex> (согласно выбранному слову и условию из леммы <tex>|xy|\leqslant n</tex>). Это означает, что при <tex> k = 0 </tex> слово <tex>xy^kz</tex> либо не содержит символа <tex> a </tex>, либо количество символов <tex> b</tex> меньше <tex> n </tex>. В обоих случаях полученное слово не принадлежит языку. Значит язык <tex> L' </tex> нерегулярный. Предположим, что язык <tex> L </tex> регулярный. Заметим, что <tex>L' = L \cap \{ab^{*}c^{*}\} </tex>. В силу того, что пересечение регулярных языков регулярно, имеем в правой части равенства регулярный язык. При этом в левой части стоит язык, нерегулярность которого была доказана ранее. Значит наше предположение неверно, и язык <tex> L </tex> нерегулярный. '''Докажем, что язык удовлетворяет лемме о разрастании.'''Выберем в лемме <tex> n = 2 </tex>. Это означает, что длина рассматриваемых слов не меньше <tex> 2 </tex> (иными словами <tex> i + j + k \geqslant 2 \,</tex>). Для каждого случая значений <tex> i, j, k </tex> выберем соответствующие слова <tex> x, y </tex> и <tex> z </tex> из леммы. Легко проверить, что в каждом из приведенных ниже случаев условие леммы выполняется: # <tex> i = 0, j = 0, k \geqslant 2 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=c^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = c, z = c^{k-1}</tex>.# <tex> i = 0, j \geqslant 1, k \geqslant 0 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=b^jc^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = b, z = b^{j-1}c^k</tex>.# <tex> i = 1, j \geqslant 1, j = k </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=ab^jc^j</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = a, z = b^jc^j</tex>.# <tex> i = 2, j \geqslant 1, k \geqslant 1 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=aab^jc^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = aa, z = b^jc^k</tex>.# <tex> i \geqslant 3, j \geqslant 1, k \geqslant 1 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=aaaa^{i-3}b^jc^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = a, z = aaa^{i-3}b^jc^k</tex>.

== Доказательства нерегулярности языков ==Для доказательства нерегулярности языка можно использовать свойства регулярных и автоматных языков.<br/>Часто удобно использовать отрицание леммы о разрастании. Пусть '''Таким образом''', язык <tex>L</tex> — язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Если для любого натурального <tex>n</tex> найдётся такое слово <tex>\omega</tex> из данного языка, что его длина будет не меньше <tex> n</tex> удовлетворяет второй части леммы и при любом разбиении на три слова <tex>xэтом является нерегулярным,y,z</tex> такиечто доказывает тот факт, что <tex>y</tex> непустое и длина <tex>xy</tex> лемма о разрастании '''не больше <tex>n</tex>, существует такое <tex>k</tex>, что <tex>xy^kz \notin L</tex>, то язык <tex>L</tex> нерегулярный''' является достаточным для регулярности языка. === Пример доказательства с использованием леммы языка, удовлетворяющего лемме в общем виде===Рассмотрим язык праильных скобочных последовательностейдругой пример. Для фиксированного <tex>n</tex> предъявляем слово  <tex>L_1 = \{ uvwxy \mid u, y \in \{ 0,1 ,2,3 \omega=(}^n)^n</tex>. Пусть <tex>* \omega</tex> как-то разбили на <tex>wedge v,w,x\in \{ 0,1, y2, z3 \} \wedge ( v = w \vee v = x \vee x =w) \}</tex>. Так как  <tex>|xy|L_2 = \{ w \leqslant n</tex>mid w \in \{ 0,1 ,2, то <tex>y=(3 \}^b* \wedge</tex>, где <tex>b > 0\dfrac{1}{7}</tex>. Для любого такого разбиения берём из символов слова <tex>k=2w</tex> и получаем является символом <tex>xy^kz=(^{n+b3 \})^n</tex>, что не является правильной скобочной последовательностью. Значит, язык правильных скобочных последовательностей нерегулярен.=== Пример доказательства без использования леммы ===Докажем нерегулярность языка <tex>0^a 1^b 2^b, a \geqslant 1, b L = L_1 \geqslant 0cup L_2</tex> '''Докажем, что он нерегулярный. Заметим''' Предположим, что здесь условие леммы о накачке выполнено <tex>(n = 1, x = \varepsilon, y = 0)</tex>. Докажем нерегулярность некоторая строка языка с помощью свойств ДКА. Пусть для языка существует автомат <tex>AL</tex> c имеет длину <tex>kn=5</tex> состояниями. Пусть после <tex>a</tex> нулей на вход поступило <tex>k</tex> единиц. При помощи рассужденийПоскольку в алфавите всего четыре символа, то как минимум два символа из пяти в этой строке будут одинаковыми, и они разделены максимум тремя символами::Если дубликаты разделены нулями или единицами, аналогичных приведенным накачаем один из двух остальных символов в доказательстве леммыстроке, получаемкоторые не повлияют на подстроку, что с момента завершения считывания нулей до последнего считывания единицы автомат посетит которая содержит дубликаты.:Если дубликаты разделены двойками или тройками, накачаем <tex>k + 12</tex> состояниесимвола, т. е. хотя бы в одном из них он окажется дваждыразделяющих их. Пусть при первом посещении этого состояния автомат считал Накачка также уменьшает или увеличивает результат во время создания подстроки размера <tex>i3</tex> единиц, при втором — которая содержит <tex>j2</tex>продублированных символа. Поскольку Второе условие языка <tex>0^a 1^i 2^iL</tex> принимается автоматомобеспечивает, а что <tex>0^a 1^j 2^iL</tex> — не принимаетсянерегулярный, то при подаче автомату, находящемуся есть в этом состояниинем бесконечное число строк, которые принадлежат <tex>iL</tex> двоек, автомат, с одной стороны, должен оказаться но не могут быть получены путям разрастания некоторой меньшей строки в допускающем состоянии, с другой — в недопускающем<tex>L</tex>.

* [[Интерпретация булевых формул Булевые формулы с кванторами как игр игры для двух игроков]] == Примечания Источники информации ==<references* [http://en.wikipedia.org/>== Литература ==wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages Wikipedia — Pumping lemma for regular languages]* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' — '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 сС. 144. : — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)