Изменения

'''Лемма о разрастании''' (лемма о накачке, англ. ''pumping lemma'') — лемма, позволяющая во многих случаях проверить, является ли данный язык [[КатегорияРегулярные языки: Теория формальных два определения и их эквивалентность|регулярным]].== Лемма о разрастании == {{Лемма|id= ==lemma==|about=о разрастании, о накачке|statement=Пусть <tex>L</tex> — [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярный язык]] над алфавитом <tex>\Sigma</tex>, тогда существует такое <tex>n</tex>, что для любого слова <tex> \omega \in L</tex> длины не меньше <tex>n</tex> найдутся слова <tex> x,y,z \in \Sigma^*</tex>, для которых верно: <tex>xyz=\omega, y\neq \varepsilon, |xy|\leqslant n</tex> и <tex>\forall k \geqslant 0~xy^{k}z\in L</tex>.|proof=[[Файл:Consp_lemma.png||left|240px|]] Пусть <tex>L</tex> — регулярный язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Поскольку [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)|регулярный язык является автоматным]], то найдётся автомат <tex>A</tex>, допускающий язык <tex>L</tex>. Пусть <tex>n</tex> — размер автомата. Докажем, что <tex>n</tex> удовлетворяет условию леммы.<br/>Возьмём произвольное слово <tex>\omega</tex> длины не меньше <tex>n</tex> из языка <tex>L</tex>. Рассмотрим переходы в автомате <tex>\langle s,\omega\rangle \vdash\langle u_1, \omega[0]^{-1}\omega\rangle\vdash\dots\vdash\langle u_{l},\varepsilon\rangle, \: l\geqslant n</tex>. Так как <tex>l</tex> не меньше количества состояний в автомате <tex>n</tex>, то в переходах будет совпадение. Пусть <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> — первое совпадение. Тогда, повторяя участок слова <tex>\omega</tex>, который отвечает за переход от <tex>u_i</tex> к <tex>u_j</tex>, получаем слово, допускаемое автоматом. То есть, если верно <tex>\langle s, xyz\rangle \vdash^*\langle u_i, yz\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>, то тогда верно <tex>\langle s, xy^kz\rangle \vdash^*\langle u_i, y^kz\rangle\vdash^*\langle u_j, y^{k-1}z\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>. Тогда автомат <tex>A</tex> допускает слово <tex>xy^kz</tex>, следовательно <tex>xy^kz</tex> принадлежит регулярному языку <tex>L</tex>.<br />Наконец, поскольку <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> — первое совпадение, среди состояний <tex>s, u_1, \ldots, u_i, \ldots, u_{j-1}</tex> нет повторяющихся. Значит, выполняется требование <tex>|xy| \leqslant n</tex>.}}'''Замечание.''' Условие леммы не является достаточным для регулярности языка. ''(См. [[#Пример нерегулярного языка, для которого выполняется лемма о разрастании|пример]])'' == Лемма о разрастании в общем виде ==

|id= ==lemma==|about=О о разрастании, о накачке в общем виде

Пусть Если язык <tex>L</tex> - регулярный язык над алфавитом является регулярным, то существует число <tex>n \Sigmageqslant 1</tex>, тогда существует такое что для любого слова <tex>nuwv</tex>, такой что для любого слова из языка <tex> \omega \in L</tex>, длины не меньше где <tex> |w| \geqslant n </tex> найдутся может быть записано в форме <tex>uwv = uxyzv</tex>,где слова <tex> x</tex>,<tex>y,</tex> и <tex>z \in \Sigma^*</tex>такие, для которых верно что <tex>xyz=\omega, y\neq \varepsilon, |xy|\leqslant n</tex>, <tex>|y| \geqslant 1</tex> и <tex>xyuxy^{k}z\in izv</tex> принадлежит языку <tex>L</tex> для всех любого целого числа <tex> k i \geqslant 0</tex>.

Пусть <tex>L</tex> - регулярный язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>, тогда найдётся автомат <tex>A</tex>, допускающий язык <tex>L</tex>. Обозначим размер автомата <tex>A</tex>, как <tex>n</tex>. В языке <tex>L</tex> найдётся слово <tex>\omega</tex> длины не меньше <tex>n</tex>. Рассмотрим переходы Исходя из формулировки леммы в автомате <tex>\langle sобщем виде,\omega\rangle \vdash\langle u_1стандартная версия леммы, \omega[0]^{-1}\omega\rangle\vdash\dots\vdash\langle u_{l}которая описана выше,\epsilon\rangleявляется особым случаем, \: l\geqslant n</tex>. Так как <tex>l</tex> не меньше количества состояний в автомате котором строки <tex>n</tex>, то в переходах будет совпадение. Пусть <tex>u_iu</tex> и <tex>u_jv</tex> - первое совпадениепусты. Тогда Доказательство леммы в нашем слове <tex>\omega</tex> можно размножить кусокобщем виде аналогично доказательству стандартной версии леммы, который отвечает за переходс тем отличием, от состояния что строки <tex>u_iu</tex> к состоянию и <tex>u_jv</tex>. То есть если верно <tex>\langle sтеперь могут быть как не пусты, xyz\rangle \vdash^*\langle u_i, yz\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>, то тогда верно <tex>\langle s, xy^kz\rangle \vdash^*\langle u_i, y^kz\rangle\vdash^*\langle u_j, y^{k-1}z\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>. Тогда автомат <tex>A</tex> допускает слово <tex>xy^kz</tex>, следовательно <tex>xy^kz</tex> принадлежит регулярному языку <tex>L</tex>так и пусты.

'''Доказательство нерегулярности языкаДокажем, что он нерегулярный.'''Для этого рассмотрим вспомогательный язык <tex>L'= \{ ab^{i}c^{i} \mid i \geqslant 1\}</tex> и докажем его нерегулярность. Воспользуемся предложенным в предыдущем пункте подходом. Для фиксированного <tex>n</tex> выберем слово <tex>\omega=ab^nc^n</tex>. Заметим, что при любом разбиении <tex>\omega</tex> на <tex>x, y, z</tex> слово <tex> y </tex> не пусто (по условию леммы) и содержит только символы <tex> a </tex> и <tex> b </tex> (согласно выбранному слову и условию из леммы <tex>|xy|\leqslant n</tex>). Это означает, что при <tex> k = 0 </tex> слово <tex>xy^kz</tex> либо не содержит символа <tex> a </tex>, либо количество символов <tex> b</tex> меньше <tex> n </tex>. В обоих случаях полученное слово не принадлежит языку. Значит язык <tex> L' </tex> нерегулярный.

Чаще используется отрицание леммы для доказательства нерегулярности языка. Пусть Предположим, что язык <tex>L</tex> - язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>регулярный. Если для любого натурального <tex>n</tex> найдётся такое слово <tex>\omega</tex> из данного языкаЗаметим, что его длина будет не меньше <tex> nL' = L \cap \{ab^{*}c^{*}\} </tex> и при любом разбиении на три слова <tex>x,y,z</tex> такие. В силу того, что <tex> : y</tex> не пустое словопересечение регулярных языков регулярно, длина <tex>xy</tex> не больше <tex>n</tex>имеем в правой части равенства регулярный язык. При этом в левой части стоит язык, есть <tex>k</tex> такоенерегулярность которого была доказана ранее. Значит наше предположение неверно, что <tex>xy^kz \overline\in L</tex>, то и язык <tex>L</tex> - не регулярныйнерегулярный.

'''Пример 1Таким образом''' Язык правильных скобочных последовательностей не регулярен. Пусть дан какой-то <tex>n</tex> для него предъявляем слово <tex>\omega=(^n)^n</tex>. После этого слово <tex>\omega</tex> как-то разбили на <tex>x, y, zязык </tex>. Так как <tex>|xy|\leqslant nL </tex>удовлетворяет второй части леммы и при этом является нерегулярным, то из-за выбранного слова <tex>y=(^b</tex>, где <tex>b</tex> больше нуля. Для любого такого разбиения берём <tex>k=2</tex> и получаем <tex>xy^kz=(^{n+b})^n</tex>что доказывает тот факт, что лемма о разрастании '''не ''' является правильной скобочной последовательностью. Значит язык правильных скобочных последовательностей не регулярный языкдостаточным для регулярности языка.

'''===Пример 2''' Язык <tex>\{0^a1^a\}_{a\geqslant 0}</tex>языка, удовлетворяющего лемме в общем виде===Рассмотрим другой пример.

Пусть дан какой-то <tex>n</tex> для него предъявляем слово <tex>L_1 = \omega=0^n1^n</tex>. После этого слово <tex>{ uvwxy \omega</tex> как-то разбили на <tex>xmid u, y, z</tex>. Так как <tex>|xy|\leqslant n</tex>in \{ 0, то из-за выбранного слова <tex>y=0^b</tex>1 , где <tex>b</tex> больше нуля. Для любого такого разбиения берём <tex>k=2</tex> и получаем <tex>xy^kz=0^{n+b,3 \}1^n</tex>* \wedge v,w, что не является элементом множества слов языка <tex>x \in \{0^a1^a,1,2,3 \}_{a\geqslant 0wedge ( v = w \vee v = x \vee x =w) \}</tex>, значит этот язык не регулярен.

Рассмотрим формулу '''Докажем, что он нерегулярный.''' Предположим, что некоторая строка языка <tex>\exists x_1 \forall x_2 \exists x_3 \dots Q x_n = \Psi(x_1,\dots ,x_n)L</tex>, где имеет длину <tex>Qn=5</tex> - квантор зависящий от чётности . Поскольку в алфавите всего четыре символа, то как минимум два символа из пяти в этой строке будут одинаковыми, и они разделены максимум тремя символами::Если дубликаты разделены нулями или единицами, накачаем один из двух остальных символов в строке, которые не повлияют на подстроку, которая содержит дубликаты.:Если дубликаты разделены двойками или тройками, накачаем <tex>n2</tex>символа, разделяющих их. Теперь возьмём двух игроков и первый будет ставить Накачка также уменьшает или увеличивает результат во время создания подстроки размера <tex>x3</tex> с нечётными номерами, а второй с чётными. Если в итоге получается истина, то побеждает первый игрок, если получается ложь, то выигрывает второй. Если которая содержит <tex>\Psi2</tex> истинна, то побеждает второй игрок, в противном случае побеждает первый (при правильных ходах)продублированных символа. Пусть Второе условие языка <tex>\PsiL</tex> истиннообеспечивает, тогда отделим первый квантор. что <tex>\exists x_1\Phi(x1)L</tex>— нерегулярный, тогда по предположению то есть такой в нем бесконечное число строк, которые принадлежат <tex>x_1L</tex>, что но не могут быть получены путям разрастания некоторой меньшей строки в <tex>\Phi(x_1)L</tex> будет истинно. Верно и  == См. также ==* [[Лемма о разрастании для любого КС-грамматик]]* [[Булевые формулы с предположением кванторами как игры для лжидвух игроков]] == Источники информации ==* [http://en. В итоге получаемwikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages Wikipedia — Pumping lemma for regular languages]* Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, верное утверждение2-е изд.: Пер. с англ. — М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 144. — ISBN 5-8459-0261-4 [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Автоматы и регулярные языки]][[Категория: Свойства конечных автоматов]]