1632
правки
Изменения
м
Пусть Если язык <tex>L</tex> - регулярный язык над алфавитом является регулярным, то существует число <tex>n \Sigmageqslant 1</tex>, тогда существует такое что для любого слова <tex>nuwv</tex>, такой что для любого слова из языка <tex> \omega \in L</tex>, длины не меньше где <tex> |w| \geqslant n </tex> найдутся может быть записано в форме <tex>uwv = uxyzv</tex>,где слова <tex> x</tex>,<tex>y,</tex> и <tex>z \in \Sigma^*</tex>такие, для которых верно что <tex>xyz=\omega, y\neq \varepsilon, |xy|\leqslant n</tex>, <tex>|y| \geqslant 1</tex> и <tex>xyuxy^{k}z\in izv</tex> принадлежит языку <tex>L</tex> для всех любого целого числа <tex> k i \geqslant 0</tex>.
Пусть Исходя из формулировки леммы в общем виде, стандартная версия леммы, которая описана выше, является особым случаем, в котором строки <tex>Lu</tex> - регулярный язык над алфавитом и <tex>\Sigmav</tex>пусты. Доказательство леммы в общем виде аналогично доказательству стандартной версии леммы, тогда найдётся автомат с тем отличием, что строки <tex>u</tex> и <tex>Av</tex>теперь могут быть как не пусты, допускающий так и пусты. }}'''Замечание.''' Поскольку лемма в общем виде накладывает более жесткие требования на язык , то она может быть использована для доказательства нерегулярности многих других языков, таких как <tex>L=\{ a^mb^nc^n : m \geqslant 1 , n \geqslant 1 \}</tex>. Обозначим размер автомата == Использование леммы для доказательства нерегулярности языков == Для доказательства нерегулярности языка часто удобно использовать отрицание леммы о разрастании. Пусть <tex>AL</tex>, как — язык над алфавитом <tex>n\Sigma</tex>. В языке Если для любого натурального <tex>Ln</tex> найдётся такое слово <tex>\omega</tex> длины из данного языка, что его длина будет не меньше <tex>n</tex>и при любом разбиении на три слова <tex>x,y,z</tex> такие, что <tex>y</tex> непустое и длина <tex>xy</tex> не больше <tex>n</tex>, существует такое <tex>k</tex>, что <tex>xy^kz \notin L</tex>, то язык <tex>L</tex> нерегулярный. Рассмотрим переходы в автомате такой подход на примере языка правильных скобочных последовательностей. Для фиксированного <tex>n</tex> предъявляем слово <tex>\langle s,omega=(^n)^n</tex>. Пусть <tex>\omega</tex> как-то разбили на <tex>x, y, z</tex>. Так как <tex>|xy|\rangle \vdash\langle u_1leqslant n</tex>, то <tex>y=(^b</tex>, где <tex>b > 0</tex>. Для любого такого разбиения берём <tex>k=2</tex> и получаем <tex>xy^kz=(^{n+b})^n</tex>, что не является правильной скобочной последовательностью. Значит, язык правильных скобочных последовательностей нерегулярен. == Пример нерегулярного языка, для которого выполняется лемма о разрастании=====Пример языка, удовлетворяющего стандартной версии леммы===Рассмотрим следующий язык: <tex>L= \omega[0]{ a^{i}b^{j}c^{-1k}\omegamid i \ne 1, j \ranglegeqslant 0, k \vdashgeqslant 0\dots} \vdashcup \langle u_{lab^{i}c^{i},\epsilonmid i \geqslant 1\rangle}</tex> '''Докажем, что он нерегулярный.''' Для этого рассмотрим вспомогательный язык <tex>L'= \{ ab^{i}c^{i} \: lmid i \geqslant n1\}</tex>и докажем его нерегулярность. Так как Воспользуемся предложенным в предыдущем пункте подходом. Для фиксированного <tex>ln</tex> не меньше количества состояний в автомате выберем слово <tex>\omega=ab^nc^n</tex>. Заметим, что при любом разбиении <tex>\omega</tex> на <tex>x, то в переходах будет совпадение. Пусть y, z</tex> слово <tex> y </tex> не пусто (по условию леммы) и содержит только символы <tex>u_ia </tex> и <tex>u_jb </tex> - первое совпадение. Тогда в нашем слове (согласно выбранному слову и условию из леммы <tex>|xy|\omegaleqslant n</tex> можно размножить кусок). Это означает, который отвечает за переходчто при <tex> k = 0 </tex> слово <tex>xy^kz</tex> либо не содержит символа <tex> a </tex>, от состояния либо количество символов <tex> b</tex> меньше <tex>u_in </tex> к состоянию . В обоих случаях полученное слово не принадлежит языку. Значит язык <tex>u_jL' </tex>нерегулярный.
[[Файл:RegularpumpingpictureПредположим, что язык <tex> L </tex> регулярный. Заметим, что <tex>L' = L \cap \{ab^{*}c^{*}\} </tex>. В силу того, что пересечение регулярных языков регулярно, имеем в правой части равенства регулярный язык. При этом в левой части стоит язык, нерегулярность которого была доказана ранее. Значит наше предположение неверно, и язык <tex> L </tex> нерегулярный.jpg]]
То есть если верно '''Таким образом''', язык <tex>\langle s, xyz\rangle \vdash^*\langle u_i, yz\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangleL </tex>удовлетворяет второй части леммы и при этом является нерегулярным, то тогда верно <tex>\langle s, xy^kz\rangle \vdash^*\langle u_i, y^kz\rangle\vdash^*\langle u_j, y^{k-1}z\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_lчто доказывает тот факт, \varepsilon\rangle</tex>. Тогда автомат <tex>A</tex> допускает слово <tex>xy^kz</tex>, следовательно <tex>xy^kz</tex> принадлежит регулярному языку <tex>L</tex>что лемма о разрастании '''не''' является достаточным для регулярности языка.
}}===Пример языка, удовлетворяющего лемме в общем виде===Рассмотрим другой пример.
'''Доказательство нерегулярности языка'''<tex>L_2 = \{ w \mid w \in \{ 0,1 ,2,3 \}^* \wedge</tex> <tex>\dfrac{1}{7}</tex> из символов слова <tex>w</tex> является символом <tex>3 \} </tex>
Чаще используется отрицание леммы для доказательства нерегулярности языка. Пусть <tex>L</tex> - язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Если для любого натурального <tex>n</tex> найдётся такое слово <tex>\omega</tex> из данного языка, что его длина будет не меньше <tex> n</tex> и при любом разбиении на три слова <tex>x,y,z</tex> такие, что <tex> : y</tex> не пустое слово, длина <tex>xy</tex> не больше <tex>n</tex>, есть <tex>k</tex> такое, что <tex>xy^kz \overline= L_1 \in L</tex>, то язык <tex>Lcup L_2</tex> - не регулярный.
'''Пример 1''' Язык правильных скобочных последовательностей не регулярен== См.также == Пусть дан какой-то <tex>n</tex> * [[Лемма о разрастании для него предъявляем слово <tex>\omega=(^n)^n</tex>. После этого слово <tex>\omega</tex> какКС-то разбили на <tex>x, y, z</tex>. Так грамматик]]* [[Булевые формулы с кванторами как <tex>|xy|\leqslant n</tex>, то из-за выбранного слова <tex>y=(^b</tex>, где <tex>b</tex> больше нуля. Для любого такого разбиения берём <tex>k=2</tex> и получаем <tex>xy^kz=(^{n+b})^n</tex>, что не является правильной скобочной последовательностью. Значит язык правильных скобочных последовательностей не регулярный язык.игры для двух игроков]]
'''Пример == Источники информации ==* [http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages Wikipedia — Pumping lemma for regular languages]* Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2''' Язык <tex>\{0^a1^a\}_{a\geqslant 0}</tex>-е изд. : Пер. с англ. — М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 144. — ISBN 5-8459-0261-4
Пусть дан какой-то <tex>n</tex> для него предъявляем слово <tex>\omega=0^n1^n</tex>. После этого слово <tex>\omega</tex> как-то разбили на <tex>x, y, z</tex>. Так как <tex>|xy|\leqslant n</tex>, то из-за выбранного слова <tex>y=0^b</tex>, где <tex>b</tex> больше нуля. Для любого такого разбиения берём <tex>k=2</tex> [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Автоматы и получаем <tex>xy^kz=0^{n+b}1^n</tex>, что не является элементом множества слов языка <tex>\{0^a1^a\}_{a\geqslant 0}</tex>, значит этот язык не регулярен.регулярные языки]][[Категория: Свойства конечных автоматов]]
rollbackEdits.php mass rollback
'''Лемма о разрастании''' (лемма о накачке, англ. ''pumping lemma'') — лемма, позволяющая во многих случаях проверить, является ли данный язык [[КатегорияРегулярные языки: Теория формальных два определения и их эквивалентность|регулярным]].== Лемма о разрастании == {{Лемма|id= ==lemma==|about=о разрастании, о накачке|statement=Пусть <tex>L</tex> — [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярный язык]] над алфавитом <tex>\Sigma</tex>, тогда существует такое <tex>n</tex>, что для любого слова <tex> \omega \in L</tex> длины не меньше <tex>n</tex> найдутся слова <tex> x,y,z \in \Sigma^*</tex>, для которых верно: <tex>xyz=\omega, y\neq \varepsilon, |xy|\leqslant n</tex> и <tex>\forall k \geqslant 0~xy^{k}z\in L</tex>.|proof=[[Файл:Consp_lemma.png||left|240px|]] Пусть <tex>L</tex> — регулярный язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Поскольку [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)|регулярный язык является автоматным]], то найдётся автомат <tex>A</tex>, допускающий язык <tex>L</tex>. Пусть <tex>n</tex> — размер автомата. Докажем, что <tex>n</tex> удовлетворяет условию леммы.<br/>Возьмём произвольное слово <tex>\omega</tex> длины не меньше <tex>n</tex> из языка <tex>L</tex>. Рассмотрим переходы в автомате <tex>\langle s,\omega\rangle \vdash\langle u_1, \omega[0]^{-1}\omega\rangle\vdash\dots\vdash\langle u_{l},\varepsilon\rangle, \: l\geqslant n</tex>. Так как <tex>l</tex> не меньше количества состояний в автомате <tex>n</tex>, то в переходах будет совпадение. Пусть <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> — первое совпадение. Тогда, повторяя участок слова <tex>\omega</tex>, который отвечает за переход от <tex>u_i</tex> к <tex>u_j</tex>, получаем слово, допускаемое автоматом. То есть, если верно <tex>\langle s, xyz\rangle \vdash^*\langle u_i, yz\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>, то тогда верно <tex>\langle s, xy^kz\rangle \vdash^*\langle u_i, y^kz\rangle\vdash^*\langle u_j, y^{k-1}z\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>. Тогда автомат <tex>A</tex> допускает слово <tex>xy^kz</tex>, следовательно <tex>xy^kz</tex> принадлежит регулярному языку <tex>L</tex>.<br />Наконец, поскольку <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> — первое совпадение, среди состояний <tex>s, u_1, \ldots, u_i, \ldots, u_{j-1}</tex> нет повторяющихся. Значит, выполняется требование <tex>|xy| \leqslant n</tex>.}}'''Замечание.''' Условие леммы не является достаточным для регулярности языка. ''(См. [[#Пример нерегулярного языка, для которого выполняется лемма о разрастании|пример]])'' == Лемма о разрастании в общем виде ==
{{Лемма
|id= ==lemma==|about=О о разрастании, о накачке в общем виде
|statement=
|proof=
'''Докажем, что язык удовлетворяет лемме о разрастании.''' Выберем в лемме <tex> n = 2 </tex>. Это означает, что длина рассматриваемых слов не меньше <tex> 2 </tex> (иными словами <tex> i + j + k \geqslant 2 \,</tex>). Для каждого случая значений <tex> i, j, k </tex> выберем соответствующие слова <tex> x, y </tex> и <tex> z </tex> из леммы. Легко проверить, что в каждом из приведенных ниже случаев условие леммы выполняется:
# <tex> i = 0, j = 0, k \geqslant 2 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=c^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = c, z = c^{k-1}</tex>.
# <tex> i = 0, j \geqslant 1, k \geqslant 0 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=b^jc^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = b, z = b^{j-1}c^k</tex>.
# <tex> i = 1, j \geqslant 1, j = k </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=ab^jc^j</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = a, z = b^jc^j</tex>.
# <tex> i = 2, j \geqslant 1, k \geqslant 1 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=aab^jc^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = aa, z = b^jc^k</tex>.
# <tex> i \geqslant 3, j \geqslant 1, k \geqslant 1 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=aaaa^{i-3}b^jc^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = a, z = aaa^{i-3}b^jc^k</tex>.
<tex>L_1 = \{ uvwxy \mid u, y \in \{ 0,1 ,2,3 \}^* \wedge v,w,x \in \{ 0,1,2,3 \} \wedge ( v = w \vee v = x \vee x =w) \}</tex>
'''Докажем, что он нерегулярный.''' Предположим, что некоторая строка языка <tex>L</tex> имеет длину <tex>n=5</tex>. Поскольку в алфавите всего четыре символа, то как минимум два символа из пяти в этой строке будут одинаковыми, и они разделены максимум тремя символами:
:Если дубликаты разделены нулями или единицами, накачаем один из двух остальных символов в строке, которые не повлияют на подстроку, которая содержит дубликаты.
:Если дубликаты разделены двойками или тройками, накачаем <tex>2</tex> символа, разделяющих их. Накачка также уменьшает или увеличивает результат во время создания подстроки размера <tex>3</tex>, которая содержит <tex>2</tex> продублированных символа.
Второе условие языка <tex>L</tex> обеспечивает, что <tex>L</tex> — нерегулярный, то есть в нем бесконечное число строк, которые принадлежат <tex>L</tex>, но не могут быть получены путям разрастания некоторой меньшей строки в <tex>L</tex>.
