Дополнительный, самодополнительный граф

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Дополнительный граф[править]

<wikitex>

Определение:
Пусть дан граф [math]G \langle V, E \rangle[/math]. Дополнительным графом (англ. complement graph) к $G$ называется граф [math]G \langle V, \overline E \rangle[/math] то есть граф с вершинами из $V$ и теми и только теми ребрами из $E$, которые не вошли в $G$.
Пример графа с 6-ю вершинами и его дополнение.
Допграф1.png Допграф2.png



Теорема:
Дополнительный граф к дополнительному графу $G$ есть граф $G$.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]\overline{\overline {G \langle V, E \rangle}} = \overline{G_1 \langle V, \overline{E} \rangle} = G_2 \langle V, \overline{\overline{E}} = G_2 \langle V, E \rangle = G[/math]
[math]\triangleleft[/math]



Теорема:
В дополнительном графе к [math]G \langle V, E \rangle[/math]. количество ребер равняется [math]\frac{\left\vert V \right\vert \cdot \left ( \left\vert V \right\vert - 1 \right )}{2} - \left\vert E \right\vert[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Так как множества ребер в $G$ и $\overline{G}$ дизъюнктны, то $\left\vert E \right\vert + \left\vert \overline{E} \right\vert =$ [math]\frac{\left\vert V \right\vert \cdot \left ( \left\vert V \right\vert - 1 \right )}{2}[/math], из чего следует утверждение теоремы.
[math]\triangleleft[/math]



Теорема:
Дополнительный граф к несвязному графу связен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для графа с одной вершиной утверждение очевидно. Докажем его для остальных графов.

Пусть $G$ — данный граф. Рассмотрим произвольные вершины $v$ и $u$ из $G$. Возможны два случая: $v$ и $u$ лежат в одной или в разных компонентах связности.

  • Пусть $v$ и $u$ лежат в разных компонентах связности $G$.
Тогда ребро $(u, v) \notin G \Rightarrow (u, v) \in \overline{G} \Rightarrow u$ и $v$ лежат в одной компоненте связности $\overline{G}$.


Допграф3.png
















  • Пусть $v$ и $u$ лежат в одной компоненте связности $G$.

$G$ — несвязный $\Rightarrow \exists w \in G$, не лежащая в одной компоненте связности с $v$ и $u$.

Тогда по предыдущему пункту $(v, w) \in \overline{G}$ и $(u, w) \in \overline{G} \Rightarrow v$ и $u$ лежат в одной компоненте связности $\overline{G}$.


Допграф4.png

















То есть $\forall u, v \in V$ $u$ и $v$ лежат в одной компоненте связности $\overline{G}$, то есть $\overline{G}$ связен.
[math]\triangleleft[/math]

Самодополнительный граф[править]

Определение:
Самодополнительным графом (англ. self-complement) называется граф, изоморфный своему дополнительному.



Теорема:
Любой самодополнительный граф имеет $4k$ или $4k + 1$ вершину.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Обозначим $\left\vert V \right\vert$ за $n$, $\left\vert E \right\vert$ за $a$.

Граф самодополнителен $\Rightarrow$ количество его ребер равно количеству ребер в его дополнении.

Но по одной из предыдущих теорем, [math]\frac{n \cdot \left ( n - 1 \right )}{2}[/math] $- a = \left\vert \overline{E} \right\vert = a \Rightarrow 4a = n \cdot \left ( n - 1 \right )$, из чего следует утверждение теоремы.
[math]\triangleleft[/math]



Теорема:
Для любых $k > 0$ существует самодополнительный граф с $4k$ или $4k + 1$ вершиной.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Будем доказывать по индукции. Для $k = 1$ утверждение справедливо.

Допграф7.png

Пусть у нас есть самодополнительный граф $G$ с $n$ вершинами, построим самодополнительный граф с $n + 4$ вершинами. Добавим к $G$ 4 вершины $v_1, v_2, v_3, v_4$ и ребра:

  • Добавим ребра $(v_1, v_2), (v_2, v_3), (v_3, v_4)$
  • Если $u$ была вершиной в $G$, добавим ребра $(u, v_1), (u, v_4)$

Назовем полученный граф $A$. Докажем, что $A$ самодополнителен.

Рассмотрим биекцию на множестве вершин $A$ и $\overline{A}$:

  • Среди всех вершин, принадлежавших $G$ биекция будет такая же, как и у $G$ с $\overline{G}$;
  • $v_1 \rightarrow v_2, v_2 \rightarrow v_4, v_3 \rightarrow v_1, v_4 \rightarrow v_3$.

Тогда между ребрами $A$ и $\overline{A}$ тоже будет биекция.

Допграф9.png
[math]\triangleleft[/math]

</wikitex>

См. также[править]

Источники информации[править]