3622
правки
Изменения
м
{{nohate}}
$<tex>\overline{\overline{G<\langle V, E>\rangle}} = \overline{G_1<\langle V, \overline{E}>\rangle} = G_2<\langle V, \overline{\overline{E}}> = G_2<\langle V, E> \rangle = G$ </tex>
Нет описания правки
== Дополнительный граф ==
<wikitex>
{{Определение
|definition =
Пусть дан граф $<tex>G<\langle V, E\rangle</tex>$. '''Дополнительным графом к''' (англ. ''complement graph'') к $G$ называется граф $G_1<tex>G \langle V, \overline{E}\rangle</tex>$, то есть граф с вершинами из $V$ и всеми теми и только теми ребрами из $E$, которые не вошли в $G$.
}}
{|class="wikitable" border="1" style="border-collapse:collapse; border:noborder"
|colspan="2"|Пример графа с 6-ю вершинами и его дополнение.
|-
|[[Файл:граф1допграф1.png|200px|link=|временная картинка]]|[[Файл:граф2допграф2.png|200px|link=|временная картинка]]
|}
{{Теорема
|statement=
Дополнительный [[Основные_определения_теории_графов|граф ]] к дополнительному графу $G$ есть граф $G$.
|proof=
}}
{{Теорема
|statement=
В дополнительном графе к $<tex>G<\langle V, E\rangle</tex>$ . количество ребер равняется <tex dpi=150>\frac{\left\vert V \right\vert \cdot \left ( \left\vert V \right\vert - 1 \right )}{2} - \left\vert E \right\vert</tex>.
|proof=
{{Теорема
|statement=
Дополнительный граф к [[Отношение связности, компоненты связности|несвязному ]] графу связен.
|proof=
Для графа с одной вершиной утверждение очевидно. Докажем его для остальных графов.
Пусть $G$ {{- --}} данный граф. Рассмотрим произвольные вершины $v$ и $u$ из $G$. Возможны два случая: $v$ и $u$ лежат в одной или в разных компонентах связности.
*Пусть $v$ и $u$ лежат в разных компонентах связности $G$. :Тогда ребро $(u, v) \notin G \Rightarrow (u, v) \in \overline{G} \Rightarrow u$ и $v$ лежат в одной компоненте связности $\overline{G}$.
<br>
[[Файл:граф111допграф3.png|500px|слева|временная картинка]]
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
*Пусть $v$ и $u$ лежат в разных компонентах одной компоненте связности $G$.
$G$ {{---}} несвязный $\Rightarrow \exists w \in G$, не лежащая в одной компоненте связности с $v$ и $u$.
:Тогда по предыдущему пункту $(v, w) \in \overline{G}$ и $(u, w) \in \overline{G} \Rightarrow v$ и $u$ лежат в одной компоненте связности $\overline{G}$.
<br>
[[Файл:граф8допграф4.png|500px|слева|временная картинка]]
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
{{Определение
|definition =
'''Самодополнительным графом''' (англ. ''self-complement'') называется граф, {{Acronym[[Основные определения теории графов|изоморфный|Два графа A и B называются изоморфными, если можно установить биекцию между их вершинами и соответствующими им ребрами.}} ]] своему дополнительному.
}}
<br>
Будем доказывать по индукции. Для $k = 1$ утверждение справедливо.
[[Файл:граф1111допграф7.png|400px||временная картинкаlink=]]
Пусть у нас есть самодополнительный граф $G$ с $n$ вершинами, построим самодополнительный граф с $n + 4$ вершинами.
Тогда между ребрами $A$ и $\overline{A}$ тоже будет биекция.
[[Файл:графлолдопграф9.png|400px||временная картинка]]
}}
</wikitex>
== См. также ==
* [[Основные определения теории графов]]
* [[Отношение связности, компоненты связности]]
== Источники информации ==
* ''Харари Ф.'' Теория графов. /пер. с англ. — изд. 2-е — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Дополнение_графа Википедия {{---}} дополнение графа]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki//Самодополнительный_граф Википедия {{---}} самодополнительный граф]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]
