Классы чисел — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (увеличить дроби)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 29 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
==Определение натуральных чисел==
 
==Определение натуральных чисел==
===Неформатное определение===
+
''Oсновная статья:'' [[Натуральные числа | Натуральные числа]]
 +
===Неформальное определение===
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Натура́льные чи́сла''' (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
+
'''Натура́льные чи́сла''' (англ. ''natural numbers'', естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
 
}}
 
}}
  
Строка 13: Строка 14:
 
Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.
 
Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.
  
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком <math>\mathbb{N}</math>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
+
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком <tex>\mathbb{N}</tex>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
 
 
===Аксиомы Пеано===
 
  
 +
===Формальное определение===
 +
Определить множество натуральных чисел позволяют '''аксиомы Пеано''' (англ. ''Peano axioms''):
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 22: Строка 23:
 
# <tex>1\in\mathbb{N}</tex> (<tex>1</tex> является натуральным числом);
 
# <tex>1\in\mathbb{N}</tex> (<tex>1</tex> является натуральным числом);
 
# Если <tex>x\in\mathbb{N}</tex>, то <tex>S(x)\in\mathbb{N}</tex> (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
 
# Если <tex>x\in\mathbb{N}</tex>, то <tex>S(x)\in\mathbb{N}</tex> (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
# <tex>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</tex> ('''1''' не следует ни за каким натуральным числом);
+
# <tex>\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)</tex> (<tex>1</tex> не следует ни за каким натуральным числом);
 
# Если <tex>S(b)=a</tex> и <tex>S(c)=a</tex>, тогда <tex>b=c</tex> (если натуральное число <tex>a</tex> непосредственно следует как за числом <tex>b</tex>, так и за числом <tex>c</tex>, то <tex>b=c</tex>);
 
# Если <tex>S(b)=a</tex> и <tex>S(c)=a</tex>, тогда <tex>b=c</tex> (если натуральное число <tex>a</tex> непосредственно следует как за числом <tex>b</tex>, так и за числом <tex>c</tex>, то <tex>b=c</tex>);
 
# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
 
# '''Аксиома индукции'''. Пусть <tex>P(n)</tex> — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа <tex>n</tex>. Тогда:
Строка 44: Строка 45:
 
* <tex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</tex>
 
* <tex>3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}</tex>
  
Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0, 1, 2, .
+
Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают <tex>0, 1, 2, \dots.</tex>
  
 
Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».
 
Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».
Строка 54: Строка 55:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Множество '''целых чисел''' <tex>\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}</tex> определяется как замыкание множества натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (-).
+
Множество '''целых чисел''' (англ. ''integers'') <tex>\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\,</tex> определяется как замыкание множества натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> относительно арифметических операций сложения <tex>(+)</tex> и вычитания <tex>(-)</tex>.
 
}}
 
}}
Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида '''-n''' (<tex>n\in\mathbb{N}</tex>) и числа нуль.
+
Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел <tex>(1, 2, 3)</tex>, чисел вида '''-n''' (<tex>n\in\mathbb{N}</tex>) и числа ноль.
  
 
Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.
 
Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.
Строка 66: Строка 67:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Множество рациональных чисел обозначается <tex>\mathbb{Q}</tex> и может быть записано в виде:  
+
Множество рациональных чисел (англ. ''rational numbers'') обозначается <tex>\mathbb{Q}</tex> и может быть записано в виде:  
 
: <tex>\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.</tex>
 
: <tex>\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.</tex>
 
}}
 
}}
Строка 76: Строка 77:
  
 
===Определение вещественных чисел===
 
===Определение вещественных чисел===
 
+
''Oсновная статья:'' [[Вещественные числа | Вещественные числа]]
'''Веще́ственное число''' — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Веще́ственное число''' (англ. ''real number'') — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.
 +
}}
  
 
С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
 
С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
Строка 87: Строка 91:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Ко́мпле́ксные чи́сла''' — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается <tex>\mathbb{C}</tex>.
+
'''Ко́мпле́ксные чи́сла''' (англ. ''complex number'') — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается <tex>\mathbb{C}</tex>.
 
Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма <tex>x+iy</tex>, где <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — вещественные числа, <tex>i</tex> — мнимая единица (одно из решений уравнения <tex>x^2 = -1</tex>).
 
Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма <tex>x+iy</tex>, где <tex>x</tex> и <tex>y</tex> — вещественные числа, <tex>i</tex> — мнимая единица (одно из решений уравнения <tex>x^2 = -1</tex>).
 
}}
 
}}
 
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени <tex>n</tex> с комплексными коэффициентами имеет ровно <tex>n</tex> комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.
 
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени <tex>n</tex> с комплексными коэффициентами имеет ровно <tex>n</tex> комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.
  
==Операции сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня==
 
 
===Сложение===
 
{{Определение
 
|definition=
 
'''Сложение''' — бинарная операция, определённая на некотором множестве, элементы которого мы будем называть числами, при которой двум числовым аргументам (слагаемым) ''a'' и ''b'' сопоставляется итог (сумма), обычно обозначаемый с помощью знака «плюс»: <tex>a + b</tex>.
 
}}
 
Сложение обладает следующими свойствами:
 
* коммутативностью (''переместительный закон''): <tex>a + b = b + a</tex>
 
* ассоциативностью (''сочетательный закон''): <tex>(a + b) + c = a + (b + c)</tex>
 
 
===Вычитание===
 
{{Определение
 
|definition=
 
'''Вычитание''' - бинарная операция, обратная сложению.
 
}}
 
Таким образом, выражение <tex>c - b = a</tex> можно переписать в виде <tex>a + b = c</tex>.
 
 
===Умножение===
 
{{Определение
 
|definition=
 
В арифметике под '''умножением''' понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «сложить три пятёрки», то есть является просто краткой записью для 5+5+5. Результат умножения называется ''произведением'', а умножаемые числа — ''множителями'' или ''сомножителями''.
 
}}
 
 
Умножение обладает следующими свойствами:
 
* коммутативностью (''переместительный закон''): <tex>a \cdot b = b \cdot a</tex>
 
* ассоциативностью (''сочетательный закон''): <tex>(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)</tex>
 
* существованием обратного элемента: <tex>a \cdot 1 = a</tex>
 
* дистрибутивностью относительно умножения (''распределительный закон''): <tex>a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c</tex>
 
 
===Деление===
 
{{Определение
 
|definition=
 
'''Деле́ние''' (операция деления) — одно из арифметических действий, обратное умножению. Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое.
 
}}
 
Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторенное сложение, деление заменяет неоднократно повторенное вычитание.
 
 
Рассмотрим, например, такой вопрос:
 
 
'''Сколько раз 3 содержится в 14?'''
 
  
Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 «входит» в 14 четыре раза, и ещё «остаётся» число 2.
+
== См. также ==
 +
*[[Натуральные числа | Натуральные числа]]
 +
*[[Вещественные числа | Вещественные числа]]
 +
*[[Простые числа | Простые числа]]
 +
*[[Основная теорема арифметики | Основная теорема арифметики]]
  
В этом случае число 14 называется '''делимым''', число 3 — '''делителем''', число 4 — '''(неполным) частным''' и число 2 — '''остатком (от деления)'''.
 
  
Результат деления также называют '''отношением'''.
+
== Источники информации ==
 
+
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE/ Натуральные числа]
===Извлечение корня===
+
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D1%8B_%D0%9F%D0%B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE/ Аксиомы Пеано]
  
 +
[[Категория: Теория чисел]]
 
[[Категория: Классы чисел]]
 
[[Категория: Классы чисел]]
{{Определение
 
|definition=
 
'''Арифметический корень n-ой степени''' (''n'' &gt; 0) из числа ''a'' — это такое число ''b'', что ''b''<sup>''n''</sup> = ''a''.
 
}}В поле действительных чисел корень имеет только одно решение или ни одного, если это корень чётной степени из отрицательного числа. В поле комплексных чисел корень ''n''-ой степени имеет ''n'' решений. Обозначается символом <tex>\sqrt[n]{\ }</tex>.
 
 
Арифметический корень 2-ой степени называется квадратным корнем и может записываться без указания степени: <tex>\sqrt{\ }</tex>.
 
Арифметический корень 3-ей степени называется кубическим корнем.
 

Текущая версия на 19:03, 4 сентября 2022

Определение натуральных чисел

Oсновная статья: Натуральные числа

Неформальное определение

Определение:
Натура́льные чи́сла (англ. natural numbers, естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).


Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

  • перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
  • обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком [math]\mathbb{N}[/math]. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Формальное определение

Определить множество натуральных чисел позволяют аксиомы Пеано (англ. Peano axioms):

Определение:
Множество [math]\mathbb N[/math] будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент [math] 1\in\mathbb N[/math] (единица) и функция [math]S\colon\mathbb N\to\mathbb N[/math] (функция следования) так, что выполнены следующие условия
  1. [math]1\in\mathbb{N}[/math] ([math]1[/math] является натуральным числом);
  2. Если [math]x\in\mathbb{N}[/math], то [math]S(x)\in\mathbb{N}[/math] (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
  3. [math]\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)[/math] ([math]1[/math] не следует ни за каким натуральным числом);
  4. Если [math]S(b)=a[/math] и [math]S(c)=a[/math], тогда [math]b=c[/math] (если натуральное число [math]a[/math] непосредственно следует как за числом [math]b[/math], так и за числом [math]c[/math], то [math]b=c[/math]);
  5. Аксиома индукции. Пусть [math]P(n)[/math] — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа [math]n[/math]. Тогда:
если [math]P(1)[/math] и [math]\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))[/math], то [math]\forall n\;P(n)[/math]
(Если некоторое высказывание [math]P[/math] верно для [math]n=1[/math] (база индукции) и для любого [math]n[/math] при допущении, что верно [math]P(n)[/math], верно и [math]P(n+1)[/math] (индукционное предположение), то [math]P(n)[/math] верно для любых натуральных [math]n[/math]).


Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

  • [math]0=\varnothing[/math]
  • [math]S(n)=n\cup\left\{n\right\}[/math]

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

  • [math]0=\varnothing[/math]
  • [math]1=\left\{\varnothing\right\}[/math]
  • [math]2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}[/math]
  • [math]3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}[/math]

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают [math]0, 1, 2, \dots.[/math]

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

Определение целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел

Определение целых чисел

Определение:
Множество целых чисел (англ. integers) [math]\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}\,[/math] определяется как замыкание множества натуральных чисел [math]\mathbb{N}[/math] относительно арифметических операций сложения [math](+)[/math] и вычитания [math](-)[/math].

Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел [math](1, 2, 3)[/math], чисел вида -n ([math]n\in\mathbb{N}[/math]) и числа ноль.

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.

Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487—1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Никола Шюке (1445—1500).

Определение рациональных чисел

Определение:
Множество рациональных чисел (англ. rational numbers) обозначается [math]\mathbb{Q}[/math] и может быть записано в виде:
[math]\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.[/math]

Нужно понимать, что численно равные дроби такие как, например, [math]\dfrac{3}{4}[/math] и [math]\dfrac{9}{12}[/math], входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

[math]\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, \gcd(m,n) = 1 \right\}.[/math]

Здесь [math]\gcd(m, n)[/math] — наибольший общий делитель чисел [math]m[/math] и [math]n[/math].

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа [math]a=\dfrac{m}{n}[/math] знаменатель [math]n=1[/math], то [math]a=m[/math] является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Однако, хотя кажется, что рациональных чисел больше чем целых, и тех и других счётное число (то есть оба они могут быть перенумерованы натуральными числами, причём явно).

Определение вещественных чисел

Oсновная статья: Вещественные числа

Определение:
Веще́ственное число (англ. real number) — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.


С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R (полужирное «R»), или [math]\mathbb{R}[/math] (blackboard bold «R») от realis — действительный.

Определение комплексных чисел

Определение:
Ко́мпле́ксные чи́сла (англ. complex number) — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается [math]\mathbb{C}[/math]. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма [math]x+iy[/math], где [math]x[/math] и [math]y[/math] — вещественные числа, [math]i[/math] — мнимая единица (одно из решений уравнения [math]x^2 = -1[/math]).

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени [math]n[/math] с комплексными коэффициентами имеет ровно [math]n[/math] комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.


См. также


Источники информации