108
правок
Изменения
Нет описания правки
}
Таким образом, <tex>\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
<tex>\mathrm{PH_{1}PH} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Sigma_{i}</tex>.<br/><tex>\mathrm{PH_{2}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Pi_{i}</tex>.<br/><tex>\mathrm{PH_{3}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} (\Sigma_{i} \cup \Pi_{i})</tex>.}} {{Теорема|statement = Все три определения класса <tex>PH</tex> эквивалентны, т.е. <tex>\mathrm{PH_{1}} = \mathrm{PH_{2}} = \mathrm{PH_{3}}</tex>.|proof = <tex>\Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \mathrm{PH_{1}} \subset \mathrm{PH_{2}}</tex>.<br/><tex>\Pi_{i} \subset (\Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}) \subset (\Sigma_{i+1} \cup \Pi_{i+1}) \Rightarrow \mathrm{PH_{2}} \subset \mathrm{PH_{3}}</tex>.<br/><tex>\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \Rightarrow \mathrm{PH_{3}} \subset \mathrm{PH_{1}}</tex>.<br/>Таким образом, <tex>\mathrm{PH_{1}} \subset \mathrm{PH_{2}} \subset \mathrm{PH_{3}} \subset \mathrm{PH_{1}}</tex>.
}}
