Изменения
Нет описания правки
Пусть имеется предикат <tex>R(x, y_1 \ldots y_i)</tex> от <tex>i+1</tex> переменной, вычислимый за полиномиальное время.
Классом сложности <tex>\Sigma_i</tex> называется класс из [[Полиномиальная иерархия|полиномиальной иерархии]] <tex>\Sigma_i=\{L | x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_i R(x, y_1 \ldots y_i)\}</tex>
Классом сложности <tex>\Pi_i</tex> называется класс из [[Полиномиальная иерархия|полиномиальной иерархии]] <tex>\Pi_i=\{L | x \in L \Leftrightarrow \forall y_1 \exists y_2 \ldots Q y_i R(x, y_1 \ldots y_i)\}</tex>
Объединением всех классов сложности <tex>\Sigma_i</tex> и <tex>\Pi_i</tex> из [[Полиномиальная иерархия|полиномиальной иерархии]] является [[Класс PH|класс PH]].
==Альтернативное определение==
Рассмотрим булевы формулы с <tex>i</tex> предваряющими кванторами. Будем рассматривать каждую формулу как игру двух игроков (<tex>\exists</tex> и <tex>\forall</tex>) <tex>i</tex>-го порядка. Игра выигрышная для первого игрока (<tex>\exists</tex>), если он начинает игру и предикат <tex>R</tex> выдает истину или если игру начинает второй игрок и предикат выдает ложь. В противном случае игра выигрышная для второго игрока (<tex>\forall</tex>).
Языком <tex>\Sigma_i</tex> называется множество игр <tex>i</tex>-го порядка, выигрышных для первого игрока (<tex>\exists</tex>).
Языком <tex>\Pi_i</tex> называется множество игр <tex>i</tex>-го порядка, выигрышных для второго игрока (<tex>\forall</tex>).
==Простейшие соотношения==
<tex>\Sigma_0 = P</tex><br>
<tex>\Sigma_1 = NP</tex><br>
<tex>\Pi_0 = P</tex><br><tex>\Pi_1 = coNP</tex><br><tex>\Sigma_i \subset \Sigma_{i+1}</tex><br><tex>\Pi_i \subset \Pi_{i+1}</tex><br><tex>\Sigma_i \subset \Pi_{i+1}</tex> ==Связь языков из <math>\Sigma_i</math> и <math>\Pi_i</math>==Если <tex>L \in \Sigma_i</tex>, то <tex>\overline{L} \in \Pi_i</tex>. Доказательство очевидно из определения <tex>\Sigma_i</tex> и <tex>\Pi_i</tex>.
