Коды Грея для перестановок — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (элемнтом -> элементом (доказательство леммы с id=lemma1))
 
(не показано 75 промежуточных версий 8 участников)
Строка 1: Строка 1:
<wikitex>
+
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Элементарная транспозиция''' (англ. ''Adjacent transposition'') {{---}} перестановка местами двух соседних элементов.
 +
}}
 +
'''Коды Грея для перестановок''' (англ. ''Gray code for permutation'') {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.
 +
== Построение кода Грея для перестановок ==
 +
 
 +
Будем строить код Грея для длины <tex>n = k</tex>. Предположим, что нам известен [[Коды Грея | код Грея]] для перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>
 +
 
 +
Сначала запишем число <tex>k</tex> в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).
  
== Определения ==
+
* <tex>\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>
 +
* <tex>\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}</tex>
 +
* <tex>\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}</tex>
 +
* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}</tex>
 +
* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}</tex>
 +
* <tex>\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}</tex>
  
{{Определение
+
Получим <tex>k</tex> различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок длины <tex>k - 1</tex> и припишем в конце число <tex>k</tex>. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины <tex>k - 1</tex> отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид:
|definition=
+
 
'''Коды Грея для перестановок''' {{---}} упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.<br>
+
<tex>\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>
  
'''Элементарная транспозиция''' {{---}} транспозиция двух соседних элементов.}}
+
Элемент <tex>k</tex> записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:
  
== Примеры кодов Грея для перестановок ==
+
* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, k}\}</tex>
 +
* <tex>\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}</tex>
 +
* <tex>\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}, \dots, b_{k-1}\}</tex>
 +
* <tex>\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>
 +
* <tex>\{\underline{b_2, k}, b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>
 +
* <tex>\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, b_{k-1}\}</tex>
  
{| border="1" cellpadding="3"
+
Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем <tex>k</tex> в один конец (поочерёдно), и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список.
| $n = 2$ || $\{1, 2\}$ || $\{2, 1\}$
 
|-
 
| $n = 3$ || $\{1, 2, 3\}$ || $\{1, 3, 2\}$ || $\{3, 1, 2\}$ || $\{3, 2, 1\}$ || $\{2, 3, 1\}$ || $\{2, 1, 3\}$
 
|}
 
  
== Построение кода Грея для перестановок ==
+
Таким образом получаем для каждой перестановки длиной <tex>k - 1</tex> (всего <tex>(k - 1)!</tex> штук) по <tex>k</tex> новых перестановок, в сумме <tex>k\cdot(k - 1)! = k!</tex> перестановок. Все они различны, так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент <tex>k</tex> стоит на разных позициях,а если <tex>k</tex> стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной <tex>k - 1</tex>. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Итого, мы получили список из <tex>k!</tex> различных перестановок длиной <tex>k</tex>, причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции.
  
Будем строить код Грея для длины $n = k$. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной $k - 1$. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: $\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
+
== Примеры кодов Грея для перестановок ==
 +
'''Перестановки для n = 2'''
 +
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
 +
!style="background-color:#EEE"| Номер
 +
!style="background-color:#EEE"| Перестановка
 +
|-
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, 1\} </tex>
 +
|-
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, 2\} </tex>
 +
|}
  
Сначала запишем $k$ в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).
+
'''Перестановки для n = 3''' (подчёркнуты пары переставляемых элементов)
 +
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
 +
!style="background-color:#EEE"| Номер
 +
!style="background-color:#EEE"| Перестановка
 +
!style="background-color:#EEE"| Пояснение
 +
|-
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>1</tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{3, 2}, 1\} </tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
 +
|-
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>2</tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{2, \underline{3, 1}\} </tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем до последней позиции
 +
|-
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>3</tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{2, 1}, 3\}</tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|
 +
|-
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>4</tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{1, \underline{2, 3}\}</tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| берем следующую перестановку и записываем тройку в конец
 +
|-
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>5</tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\underline{1, 3}, 2\} </tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| двигаем в начало
 +
|-
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>6</tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{3, 1, 2\} </tex>
 +
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|
 +
|}
  
* $\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
+
== Псевдокод получения кода Грея ==
* $\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
 
* $\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}$
 
* $\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}$
 
* $\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}$
 
* $\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}$
 
  
Получим $k$ различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо, то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):
+
Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае <tex>n = 1</tex> возвращаем список из одной перестановки <tex>\{1\}</tex>.
  
$\{a_2, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
+
  '''list<list<int>>''' gray_code(n):
 +
    '''if''' n == 1
 +
      '''return''' [{1}] <font color=darkgreen>                                //возращаем список из одной перестановки</font color=darkgreen>
 +
    '''else'''
 +
      '''list<list<int>>''' result = [] <font color=darkgreen>                //пустой список</font color=darkgreen>
 +
      '''list<list<int>>''' perms = gray_code(n - 1) <font color=darkgreen>    //perms {{---}} перестановки из n - 1 элемента</font color=darkgreen>
 +
      '''bool''' backward = ''false'' <font color=darkgreen>                      //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку</font color=darkgreen>
 +
      '''for''' perm '''in''' perms <font color=darkgreen>                          //perm {{---}} текущая перестановка</font color=darkgreen>
 +
        '''if''' backward
 +
          '''list<int>''' current = concat(perm, {n})<font color=darkgreen>    //дописываем {n} в конец perm</font color=darkgreen>
 +
          result.append(current)<font color=darkgreen>                  //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen>
 +
          '''for''' i = n '''downto''' 2
 +
            swap(current[i - 1], current[i])<font color=darkgreen>      //переставляем n</font color=darkgreen>
 +
            result.append(current) <font color=darkgreen>                //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen>
 +
        '''else'''
 +
          '''list<int>''' current = concat({n}, perm) <font color=darkgreen>  //дописываем {n} в начало perm</font color=darkgreen>
 +
          result.append(current) <font color=darkgreen>                  //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen>
 +
          '''for''' i = 1 '''to''' n - 1
 +
            swap(current[i], current[i + 1]) <font color=darkgreen>      //переставляем n</font color=darkgreen>
 +
            result.append(current) <font color=darkgreen>                //добавляем в ответ перестановку current</font color=darkgreen>
 +
        backward = '''not''' backward <font color=darkgreen>                  //меняем состояние backward</font color=darkgreen>
 +
      '''return''' result <font color=darkgreen>                              //возвращаем ответ в виде списка</font color=darkgreen>
  
Элемент $k$ записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:
+
== Реализация в нерекурсивном виде. Алгоритм Джонсона-Троттера ==
  
* $\{a_2, a_1, a_3, \dots, \underline{a_{k-1}, k}\}$
+
=== Идея ===
* $\{a_2, a_1, a_3, \underline{\dots, k}, a_{k-1}\}$
+
Сопоставим каждому элементу перестановки <tex>p[i]</tex> направление <tex>d[i]</tex>. Будем указывать направление при помощи стрелок '''←''' ("влево") или '''→'''("вправо"). Назовём элемент подвижным, если по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Например, для <tex> p = \{1, 3, 2, 4, 5\},\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>, подвижными являются элементы <tex>3</tex> и <tex>5</tex>. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего. Изначально <tex> p = \{1, \dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}</tex>.
* $\{a_2, a_1, \underline{a_3, k}, \dots, a_{k-1}\}$
 
* $\{a_2, \underline{a_1, k}, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
 
* $\{\underline{a_2, k}, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
 
* $\{k, a_2, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}$
 
  
Опять получили $k$ различных перестановок, отличающихся в одной элементарной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной $n = k - 1$, записываем в ее начало элемент $k$ и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.
+
=== Пример работы алгоритма для n = 3 ===
 +
*<tex> p = \{1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>
 +
*<tex> p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>
 +
*<tex> p = \{3, 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>
 +
*<tex> p = \{\textbf{3}, 2, 1\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, \leftarrow\}</tex>
 +
*<tex> p = \{2, \textbf{3}, 1\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow\}</tex>
 +
*<tex> p = \{2, 1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}</tex>
  
Для каждой перестановки длиной $n = k - 1$ (всего их $(k - 1)!$) мы получили $k$ новых перестановок. Итого $k\cdot(k - 1)! = k!$ перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент $k$ стоит на разных позициях,а если $k$ стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной $n = k - 1$. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок {{---}} имеют $k$ на одной и той же позиции, но отличаются в одной элементарной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной $n = k - 1$). Таким образом мы получили $k!$ различных перестановок длиной $k$, отличающихся в одной элементарной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной $n$ получен.
+
=== Псевдокод ===
 +
<code>
 +
<font color=darkgreen>//Элементы нумеруются начиная с 1 </font color=darkgreen>
 +
'''list<list<int>>''' gray_code(n):
 +
  '''list<int>''' perm = {1, ... , n}
 +
  '''list<char>''' dir = {←, ... , }
 +
  '''list<list<int>>''' result
 +
  '''while''' ''true''
 +
    result.append(perm); <font color=darkgreen>          //добавляем в ответ текущую перестановку</font color=darkgreen>
 +
    '''int''' id = -1; <font color=darkgreen>                  //индекс наибольшего подвижного элемента </font color=darkgreen>
 +
    '''for''' i = 1 '''to''' n
 +
        '''if''' (perm[i] - подвижный) '''and''' ((id == -1) '''or''' (perm[i] > perm[id]))
 +
          id = i
 +
    '''if''' (id == -1) '''break''' <font color=darkgreen>            //не нашли подвижного элемента</font color=darkgreen>
 +
    '''for''' i = 1 '''to''' n
 +
      '''if''' (perm[i] > perm[id])
 +
        reverse(dir[i]) <font color=darkgreen>            //меняем направление стрелки</font color=darkgreen> 
 +
    swap(id) <font color=darkgreen>                      //меняем элемент perm[id], dir[id] c элементом по направлению стелки</font color=darkgreen>
 +
  '''return''' result
 +
</code>
  
== Пример применения алгоритма ==
+
=== Доказательство корректности ===
 +
Очевидно, что требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма. Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки.
  
Рассмотрим код Грея для длины $n = 2$:
+
Будем использовать обозначения:
 +
*<tex>\overset{\text {$\to$}}{a}</tex> {{---}} элемент с заданным направлением(компонента).
 +
*<tex>P[i]</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex>.
 +
*<tex>P[i]\backslash\{a\}\;</tex> {{---}} перестановка с номером <tex>i</tex> без элемента <tex>a</tex>.
  
* $\{2, 1\}$
+
{{Утверждение
* $\{1, 2\}$
+
|id=approval1
 +
|statement=Число <tex>n</tex> в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, когда первая компонента перестановки есть <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> или последняя компонента есть <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex>.
 +
}}
  
Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так (подчёркнуты пары переставляемых элементов):
 
  
* $\{\underline{3, 2}, 1\}$ {{---}} берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
 
* $\{2, \underline{3, 1}\}$ {{---}} двигаем до последней позиции
 
* $\{\underline{2, 1}, 3\}$
 
* $\{1, \underline{2, 3}\}$ {{---}} берем следующую перестановку и записываем тройку в конец
 
* $\{\underline{1, 3}, 2\}$ {{---}} двигаем в начало
 
* $\{3, 1, 2\}$
 
  
Код Грея получен.
+
{{Лемма
 +
|id=lemma1
 +
|statement=Если в перестановке <tex>P[i]</tex> есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то также определены перестановки <tex>P[i + 1] ... P[i + n]</tex>. Причём, <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.
 +
|proof=Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент <tex>a \neq n</tex>, то после транспозиции его с соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше <tex>a</tex>. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента <tex>\overset{\text {$\to$}}{n}</tex> на первой позиции, либо компонента <tex>\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}</tex> на последней позиции. В обоих случаях <tex>n</tex> окажется подвижным элементом в следующих <tex>n</tex> перестановках. Так как в следующих <tex>n</tex> перестановках подвижным элементом будет только <tex>n</tex>, то <tex>P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>.
 +
}}
  
== Псевдокод получения следующего кода Грея ==
+
Теперь докажем основную лемму.
 +
{{Лемма
 +
|id=lemma2
 +
|statement=Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из <tex>n</tex> элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.
 +
|proof=Доказывать будем по индукции. Для <tex>n = 1\; - </tex> очевидно. Предположим, что для <tex>n - 1</tex> алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для <tex>n</tex> элементов. Разобьём все <tex>n!</tex> перестановок на блоки по <tex>n</tex> (подряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке <tex>P[i]\backslash\{n\} = P[i + 1]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}</tex>, если <tex>i\; - </tex> начало группы. Значит, в каждой группе какая-то перестановка из <tex>n - 1</tex> элемента дополняется до перестановки из <tex>n</tex> всеми возможными способами. Теперь докажем, что на переход между блоками элемент <tex>n</tex> никак не влияет. Заметим, что при переходе между блоками <tex>n</tex> является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения <tex>n</tex> стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как <tex>n</tex> больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на <tex>n</tex>. В силу этих фактов <tex>n</tex> никак не повлияет на переход между блоками.
 +
Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из <tex>n - 1</tex> элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из <tex>n</tex> элементов всеми возможными способами.
 +
Корректность алгоритма доказана. 
 +
}}
  
Пусть нам известен код Грея для длины $n - 1$, записанный в массив из строк $perm[i](j)$, где $i$ - номер перестановки, а $j$ номера элементов перестановок (номерация начинается с единицы). При этом переменная $t = true$, $j = 1$:
+
===Асимптотика===
 +
Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по <tex>n</tex> элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет <tex>n</tex>. Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, так как <tex>n</tex> - подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, блок выполняется за <tex>O(n) + O(n) + O(n) = O(n)</tex>. Всего блоков <tex> -\:(n - 1)!</tex>. Общая асимптотика <tex>O(n) \cdot (n - 1)! = O(n!)</tex>.
  
  procedure grey_code(t: boolean; j: integer);
+
===Сравнение с рекурсивным алгоритмом===
    var
+
Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из <tex>n - 1</tex> элемента), а только текущую. Следовательно, этот алгоритм потребляет только <tex>O(n)</tex> памяти. Также, из-за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее.
      i, c: integer;
 
    begin 
 
      if j <= (n - 1)! then {условие выхода из рекурсии}
 
        begin
 
          if t = true then
 
            begin
 
              for l := n - 1 downto 1 do  {записываем элемент n в начало строки}
 
              perm[j](l + 1) := perm[j](l);
 
              perm[j](1) := n;
 
              for l := 1 to n do
 
              writeln(perm[j](l), ' ');  {выводим перестановку}
 
              for i := 1 to n - 1 do
 
                begin
 
                  c := perm[j](i);  {меняем элементы местами и выводим каждую новую перестановку}
 
                  perm[j](i) := perm[j](i + 1);
 
                  perm[j](i + 1) := c;
 
                  for l := 1 to n do
 
                  writeln(perm[j](l), ' ');  {выводим перестановку}
 
                end;
 
              grey_code(not t, j + 1);  {повторяем процедуру}
 
            end
 
          else
 
            begin
 
              perm[j](n) := n; {записываем элемент n в конец строки}
 
              for l := 1 to n do
 
              writeln(perm[j](l), ' ');  {выводим перестановку}
 
              for i := n - 1 downto 1 do
 
                begin 
 
                  c := perm[j](i);  {меняем элементы местами и выводим каждую новую перестановку}
 
                  perm[j](i) := perm[j](i + 1);
 
                  perm[j](i + 1) := c;
 
                  for l := 1 to n do
 
                  writeln(perm[j](l), ' ');  {выводим перестановку}
 
                end;
 
              grey_code(not t, j + 1); {повторяем процедуру}
 
            end;
 
        end;
 
    end;
 
  
 +
===Интересный факт===
 +
Существует более общая формулировке задачи {{---}} для двух соседних перестановок должно выполняться, что позиции одинаковых чисел в них отличаются не более, чем на единицу.
 +
Для этой формулировки верно, что для любой перестановки <tex>u</tex> число различных перестановок <tex>v</tex>, которые могут стоять после <tex>u</tex>, равно <tex>n + 1</tex> числу Фибоначчи.
 +
Этот факт был открыт студентом нашего университета.
  
 
== Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам ==
 
== Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам ==
  
Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам $f$ и $g$, соединены ребром, если $g$ образуется из $f$ однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.
+
Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов | граф]], вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, соединены ребром, если <tex>g</tex> образуется из <tex>f</tex> однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
* [[Коды Грея]]
 
 
* [[Комбинаторные объекты]]
 
* [[Комбинаторные объекты]]
* [[Гамильтонов путь]]
+
* [[NP-полнота_задач_о_гамильтоновом_цикле_и_пути_в_графах | Гамильтонов путь]]
== Литература ==
+
 
Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург 2003 стр. 39-41
+
== Источники информации ==
 +
* Романовский И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург, 2003. - стр. 39-41 - ISBN 5-94157-330-8
 +
* Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9
 +
* Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
 
 +
[[Категория: Комбинаторика ]]

Текущая версия на 13:12, 24 июня 2019

Определение:
Элементарная транспозиция (англ. Adjacent transposition) — перестановка местами двух соседних элементов.

Коды Грея для перестановок (англ. Gray code for permutation) — упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией.

Построение кода Грея для перестановок[править]

Будем строить код Грея для длины [math]n = k[/math]. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной [math]k - 1[/math]. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: [math]\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]

Сначала запишем число [math]k[/math] в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).

  • [math]\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]
  • [math]\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]
  • [math]\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}[/math]
  • [math]\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}[/math]
  • [math]\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}[/math]
  • [math]\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}[/math]

Получим [math]k[/math] различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую перестановку из кода Грея для перестановок длины [math]k - 1[/math] и припишем в конце число [math]k[/math]. Эта перестановка отличается на одну элементарную транспозицию (последние элементы совпадают, а префиксы длины [math]k - 1[/math] отличаются на элементарную транспозицию). Пусть она имеет следующий вид:

[math]\{b_1, b_2,b_3, \dots, b_{k-1}\}[/math]

Элемент [math]k[/math] записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:

  • [math]\{b_1, b_2, b_3, \dots, \underline{b_{k-1}, k}\}[/math]
  • [math]\{b_1, b_2, b_3, \underline{\dots, k}, b_{k-1}\}[/math]
  • [math]\{b_1, b_2, \underline{b_3, k}, \dots, b_{k-1}\}[/math]
  • [math]\{b_1, \underline{b_2, k}, b_3, \dots, b_{k-1}\}[/math]
  • [math]\{\underline{b_2, k}, b_1, b_3, \dots, b_{k-1}\}[/math]
  • [math]\{k, b_1, b_2, b_3, \dots, b_{k-1}\}[/math]

Продолжаем аналогично. Для каждой перестановки дописываем [math]k[/math] в один конец (поочерёдно), и с помощью элементарных транспозиций двигаем в другой конец, при этом добавляя каждую промежуточную перестановку в список.

Таким образом получаем для каждой перестановки длиной [math]k - 1[/math] (всего [math](k - 1)![/math] штук) по [math]k[/math] новых перестановок, в сумме [math]k\cdot(k - 1)! = k![/math] перестановок. Все они различны, так как для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент [math]k[/math] стоит на разных позициях,а если [math]k[/math] стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной [math]k - 1[/math]. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции. Итого, мы получили список из [math]k![/math] различных перестановок длиной [math]k[/math], причём соседние отличаются в одной элементарной транспозиции.

Примеры кодов Грея для перестановок[править]

Перестановки для n = 2

Номер Перестановка
[math]1[/math] [math]\{2, 1\} [/math]
[math]2[/math] [math]\{1, 2\} [/math]

Перестановки для n = 3 (подчёркнуты пары переставляемых элементов)

Номер Перестановка Пояснение
[math]1[/math] [math]\{\underline{3, 2}, 1\} [/math] берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
[math]2[/math] [math]\{2, \underline{3, 1}\} [/math] двигаем до последней позиции
[math]3[/math] [math]\{\underline{2, 1}, 3\}[/math]
[math]4[/math] [math]\{1, \underline{2, 3}\}[/math] берем следующую перестановку и записываем тройку в конец
[math]5[/math] [math]\{\underline{1, 3}, 2\} [/math] двигаем в начало
[math]6[/math] [math]\{3, 1, 2\} [/math]

Псевдокод получения кода Грея[править]

Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае [math]n = 1[/math] возвращаем список из одной перестановки [math]\{1\}[/math].

 list<list<int>> gray_code(n):
   if n == 1
     return [{1}]                                 //возращаем список из одной перестановки
   else
     list<list<int>> result = []                  //пустой список
     list<list<int>> perms = gray_code(n - 1)     //perms — перестановки из n - 1 элемента
     bool backward = false                        //переменная которая говорит с какой стороны заполнять перестановку
     for perm in perms                            //perm — текущая перестановка
       if backward
         list<int> current = concat(perm, {n})    //дописываем {n} в конец perm
         result.append(current)                   //добавляем в ответ перестановку current
         for i = n downto 2
           swap(current[i - 1], current[i])       //переставляем n
           result.append(current)                 //добавляем в ответ перестановку current
       else
         list<int> current = concat({n}, perm)    //дописываем {n} в начало perm
         result.append(current)                   //добавляем в ответ перестановку current
         for i = 1 to n - 1
           swap(current[i], current[i + 1])       //переставляем n
           result.append(current)                 //добавляем в ответ перестановку current
       backward = not backward                    //меняем состояние backward
     return result                                //возвращаем ответ в виде списка

Реализация в нерекурсивном виде. Алгоритм Джонсона-Троттера[править]

Идея[править]

Сопоставим каждому элементу перестановки [math]p[i][/math] направление [math]d[i][/math]. Будем указывать направление при помощи стрелок ("влево") или ("вправо"). Назовём элемент подвижным, если по направлению стрелки стоит элемент меньше его. Например, для [math] p = \{1, 3, 2, 4, 5\},\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow, \to, \leftarrow\}[/math], подвижными являются элементы [math]3[/math] и [math]5[/math]. На каждой итерации алгоритма будем искать наибольший подвижный элемент и менять местами с элементом, который стоит по направлению стрелки. После чего поменяем направление стрелок на противоположное у всех элементов больших текущего. Изначально [math] p = \{1, \dots ,n\},\;d = \{\leftarrow, \dots ,\leftarrow\}[/math].

Пример работы алгоритма для n = 3[править]

  • [math] p = \{1, 2, \textbf{3}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}[/math]
  • [math] p = \{1, \textbf{3}, 2\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}[/math]
  • [math] p = \{3, 1, \textbf{2}\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \leftarrow\}[/math]
  • [math] p = \{\textbf{3}, 2, 1\}\;\;\;d = \{\to, \leftarrow, \leftarrow\}[/math]
  • [math] p = \{2, \textbf{3}, 1\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \to, \leftarrow\}[/math]
  • [math] p = \{2, 1, 3\}\;\;\;d = \{\leftarrow, \leftarrow, \to\}[/math]

Псевдокод[править]

//Элементы нумеруются начиная с 1  
list<list<int>> gray_code(n):
  list<int> perm = {1, ... , n}
  list<char> dir = {←, ... , ←}
  list<list<int>> result
  while true
    result.append(perm);            //добавляем в ответ текущую перестановку
    int id = -1;                    //индекс наибольшего подвижного элемента 
    for i = 1 to n
       if (perm[i] - подвижный) and ((id == -1) or (perm[i] > perm[id]))
         id = i
    if (id == -1) break             //не нашли подвижного элемента
    for i = 1 to n
      if (perm[i] > perm[id]) 
        reverse(dir[i])             //меняем направление стрелки  
    swap(id)                        //меняем элемент perm[id], dir[id] c элементом по направлению стелки
 return result 

Доказательство корректности[править]

Очевидно, что требование о том, что каждая генерируемая перестановка отличается от предыдущей транспозицией двух соседних элементов выполнено исходя из самого алгоритма. Осталось доказать, что таким образом мы сгенерируем все перестановки.

Будем использовать обозначения:

  • [math]\overset{\text {$\to$}}{a}[/math] — элемент с заданным направлением(компонента).
  • [math]P[i][/math] — перестановка с номером [math]i[/math].
  • [math]P[i]\backslash\{a\}\;[/math] — перестановка с номером [math]i[/math] без элемента [math]a[/math].
Утверждение:
Число [math]n[/math] в перестановке не является подвижным элементом тогда и только тогда, когда первая компонента перестановки есть [math]\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}[/math] или последняя компонента есть [math]\overset{\text {$\to$}}{n}[/math].


Лемма:
Если в перестановке [math]P[i][/math] есть подвижный элемент [math]a \neq n[/math], то также определены перестановки [math]P[i + 1] ... P[i + n][/math]. Причём, [math]P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Заметим, что если в перестановке есть подвижный элемент [math]a \neq n[/math], то после транспозиции его с соседним элементом(по направлению стрелки), нам нужно будет заменить направление стрелок у всех элементов больше [math]a[/math]. Так как [math]n[/math] больше любого элемента из перестановки, то направление стрелки у него тоже изменится. По нашему утверждению, либо в новой перестановке окажется компонента [math]\overset{\text {$\to$}}{n}[/math] на первой позиции, либо компонента [math]\overset{\text {$\leftarrow$}}{n}[/math] на последней позиции. В обоих случаях [math]n[/math] окажется подвижным элементом в следующих [math]n[/math] перестановках. Так как в следующих [math]n[/math] перестановках подвижным элементом будет только [math]n[/math], то [math]P[i + 1]\backslash\{n\} = P[i + 2]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Теперь докажем основную лемму.

Лемма:
Алгоритм Джонсона-Троттера строит все перестановки из [math]n[/math] элементов, причём каждая перестановка отличаются от предыдущей транспозицией двух соседних элементов.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказывать будем по индукции. Для [math]n = 1\; - [/math] очевидно. Предположим, что для [math]n - 1[/math] алгоритм строит перестановки корректно. Докажем, что алгоритм будет корректно строить перестановки и для [math]n[/math] элементов. Разобьём все [math]n![/math] перестановок на блоки по [math]n[/math] (подряд). В силу вышедоказанной леммы в каждом блоке [math]P[i]\backslash\{n\} = P[i + 1]\backslash\{n\} = ... = P[i + n]\backslash\{n\}[/math], если [math]i\; - [/math] начало группы. Значит, в каждой группе какая-то перестановка из [math]n - 1[/math] элемента дополняется до перестановки из [math]n[/math] всеми возможными способами. Теперь докажем, что на переход между блоками элемент [math]n[/math] никак не влияет. Заметим, что при переходе между блоками [math]n[/math] является неподвижным элементом. В силу нашего утверждения [math]n[/math] стоит либо на первой, либо на последней позиции. Так как [math]n[/math] больше любого элемента, то никакой подвижный элемент не может указывать на [math]n[/math]. В силу этих фактов [math]n[/math] никак не повлияет на переход между блоками. Из этого можно сделать вывод, что при переходе между блоками перестановки строятся так же, как и перестановки из [math]n - 1[/math] элемента, а каждая такая перестановка дополняется до перестановки из [math]n[/math] элементов всеми возможными способами.

Корректность алгоритма доказана.
[math]\triangleleft[/math]

Асимптотика[править]

Поговорим об асиптотике. Снова разобьём наши перестановки на блоки по [math]n[/math] элементов. Немного модифицируем алгоритм. Заметим, что в каждом блоке нам нужно искать максимальный элемент только один раз. В остальных случаях этим элементом будет [math]n[/math]. Следовательно, менять направление стрелок нужно тоже только один раз(в остальных случаях менять направления не нужно, так как [math]n[/math] - подвижный элемент, а менять направление стрелок нужно только у бóльших элементов). Следовательно, блок выполняется за [math]O(n) + O(n) + O(n) = O(n)[/math]. Всего блоков [math] -\:(n - 1)![/math]. Общая асимптотика [math]O(n) \cdot (n - 1)! = O(n!)[/math].

Сравнение с рекурсивным алгоритмом[править]

Главным приемуществом алгоритма Джонсона-Троттера является то, что нам не нужно хранить все предыдущие перестановки (из [math]n - 1[/math] элемента), а только текущую. Следовательно, этот алгоритм потребляет только [math]O(n)[/math] памяти. Также, из-за нерекурсивности этот алгоритм работает быстрее.

Интересный факт[править]

Существует более общая формулировке задачи — для двух соседних перестановок должно выполняться, что позиции одинаковых чисел в них отличаются не более, чем на единицу. Для этой формулировки верно, что для любой перестановки [math]u[/math] число различных перестановок [math]v[/math], которые могут стоять после [math]u[/math], равно [math]n + 1[/math] числу Фибоначчи. Этот факт был открыт студентом нашего университета.

Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам[править]

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам [math]f[/math] и [math]g[/math], соединены ребром, если [math]g[/math] образуется из [math]f[/math] однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Романовский И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург, 2003. - стр. 39-41 - ISBN 5-94157-330-8
  • Федоряева Т.И. Комбинаторные алгоритмы - Новосибирск, 2011. - стр. 36-46 - ISBN 978-5-4437-0019-9
  • Ананий Левитин, Алгоритмы. Введение в разработку и анализ - Москва. Санкт-Петербург. Киев, 2006. - стр. 226 - 229 - ISBN 5-8459-0987-2