Компактный оператор — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Пример)
(Компактность сопряженного оператора)
 
(не показано 9 промежуточных версий 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Сопряженный оператор|<<]][[Базис Шаудера|>>]]
 +
 
Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.
 
Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Множество называется '''относительно компактным (предкомпактным)''', если его замыкание компактно
+
Множество называется '''относительно компактным''', если его замыкание компактно
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 29: Строка 31:
 
<tex> \| A x \| \leq M \cdot \| x \| </tex>
 
<tex> \| A x \| \leq M \cdot \| x \| </tex>
  
Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи {{TODO|t=которой у нас не было}} о предкомпактности множества в <tex> C[a, b] </tex>:
+
Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи о предкомпактности множества в <tex> C[a, b] </tex>:
  
 
<tex> T \subset C[0,1]  </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
 
<tex> T \subset C[0,1]  </tex> — относительно компактное <tex>\iff</tex>
# <tex> \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
+
# <tex>\exists M\ \forall x \in T : \|x\| \leq M </tex>
 
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \  \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.
 
# <tex> \forall \varepsilon > 0 \  \exists \delta > 0 : | t'' - t' | < \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | < \varepsilon </tex> — '''равностепенная непрерывность'''.
  
Строка 47: Строка 49:
 
Отсюда, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |t'' - t'| < \delta \implies |K(t'', s) - K(t', s)| < \varepsilon \forall s \in [0, 1]</tex>.
 
Отсюда, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |t'' - t'| < \delta \implies |K(t'', s) - K(t', s)| < \varepsilon \forall s \in [0, 1]</tex>.
  
Таким образом, <tex>|A(x, t'') - A(x, t')| \le \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| < \varepsilon</tex>, получили равностепенную непрерывность <tex>A</tex>.
+
Таким образом, <tex>|A(x, t'') - A(x, t')| \le \int\limits_0^1 \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| < \varepsilon</tex>, получили равностепенную непрерывность <tex>A</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 82: Строка 84:
 
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.
 
От противного: пусть <tex> \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} </tex> — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.
 
}}
 
}}
 +
 +
== Компактность сопряженного оператора ==
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
Если <tex>A: E \to F</tex> — компактный, то <tex>A^*: F^* \to E^*</tex> — тоже компактный.
 +
|proof=
 +
(Стырено у прошлого курса)
 +
 +
По определению сопряженного оператора, если <tex>\phi \in F^*</tex>, то <tex>A^*\phi = \phi A</tex>.
 +
 +
1. Для доказательства необходимо показать, что множество <tex>\{A^*\phi \mid \|\phi\| \le 1\}</tex> будет относительно компактно в <tex>E^*</tex>.
 +
Для этого надо показать, что если взята последовательность <tex>\{\phi_n\}</tex> такая, что <tex>\|\phi_n\| \le 1</tex>, то можно выбрать <tex>\{\phi_{n_k}\}</tex> такую, что <tex>A^*\phi_{n_k}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>.
 +
 +
2. Рассмотрим в <tex>E</tex> единичный замкнутый шар <tex>\overline{V}</tex>.
 +
По компактности оператора <tex>K = Cl(A(\overline{V})) \subset F</tex> будет метрическим компактом.
 +
Рассмотрим ''сужение'' функционалов <tex>\phi_n</tex> на <tex>K</tex>.
 +
 +
3. Докажем [[равностепенная непрерывность|равностепенную непрерывность]] этой последовательности: рассмотрим <tex>y, z \in K</tex>.
 +
Норма
 +
:<tex>\|\phi_n(z) - \phi_n(y)\| = \|\phi_n(z - y)\| \le \|\phi_n\| \|z - y\| \le \|z - y\|</tex>
 +
не зависит от <tex>n</tex>, а следовательно <tex>\{\phi_n\}</tex> равностепенно непрерывна.
 +
 +
4. Выполняется и ''равномерная ограниченность'' последовательности. Для любого <tex>y \in K</tex>:
 +
:<tex>\|\phi_n(y)\| \le \|\phi_n\| \|y\| \le \|y\| \le const</tex>.
 +
 +
5. Таким образом <tex>\{\phi_n\}</tex> равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, следовательно, по теореме Арцела — Асколи из нее можно выделить равномерно сходящуюся последовательность <tex>\{\phi_{n_m}\}</tex> в <tex>K</tex>.
 +
 +
Для доказательства теоремы осталось показать, что <tex>A^*\{\phi_{n_m}\}</tex> сходится в <tex>E^*</tex>. Для этого достаточно выяснить, что <tex>A^*\{\phi_{n_m}\}</tex> равномерно сходится (при устремлении <tex>m</tex> к бесконечности) на <tex>\overline{V}</tex>.
 +
 +
6. Рассмотрим <tex>\varepsilon > 0</tex>. По равномерной сходимости <tex>\{\phi_{n_m}\}</tex> на <tex>K</tex>:
 +
<tex>\exists p_0 : \forall i, j \ge p_0 : \forall y \in K : \| \phi_{n_j}(y) - \phi_{n_i}(y) \| \le \varepsilon</tex>.
 +
 +
7. Следовательно, для любого <tex>x \in \overline{V}</tex> верно <tex>\| \phi_{n_j}(Ax) - \phi_{n_i}(Ax) \| \le \varepsilon</tex>.
 +
Замечая, что <tex>\phi_{n_i}(Ax) = A^*(\phi_{n_i}, x)</tex>, приходим к равномерной сходимости <tex>A^*\phi_{n_m}</tex> на <tex>\overline{V}</tex>.
 +
 +
Таким образом, теорема доказана.
 +
}}
 +
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 93: Строка 133:
 
<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.
 
<tex> A(V_n) </tex> — относительно компактно.
  
Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]], можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon_{\frac{1}{n}}</tex>-сетей для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.  
+
Используя [[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях|теорему Хаусдорфа]], можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение <tex>\varepsilon</tex>-сетей при <tex>\varepsilon = \frac1n</tex> для <tex>n</tex> от <tex>1</tex> до <tex>\infty</tex> счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.  
  
 
Счетное объединение сепарабельных множеств ­— сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.
 
Счетное объединение сепарабельных множеств ­— сепарабельно, значит <tex> R(A) </tex> — сепарабельно.

Текущая версия на 13:54, 16 июня 2018

<<>>

Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.

Определение:
Множество называется относительно компактным, если его замыкание компактно


Определение:
Линейный ограниченный оператор [math] A : X \to Y [/math] называется компактным, если [math] A [/math] переводит любое ограниченное подмножество [math] X [/math] в относительно компактное множество из [math] Y [/math].


Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.

Пример[править]

Рассмотрим пространство [math] C[0,1] [/math]. Пусть [math] K(t, s) [/math] — непрерывно на [math] [0,1]\times[0,1] [/math] и ограничено: [math] | K(t,s) | \leq M [/math].

Введем оператор [math]A: C[0,1] \to C[0,1][/math] как [math] A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds [/math], где [math] x(s) \in C[0,1] [/math].

Зададим норму [math] \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| [/math].

Утверждение:
Оператор [math] A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds [/math] — компактный.
[math]\triangleright[/math]

[math] | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| [/math]

[math] \| A x \| \leq M \cdot \| x \| [/math]

Проверим, что реализуются условия теоремы Арцела-Асколи о предкомпактности множества в [math] C[a, b] [/math]:

[math] T \subset C[0,1] [/math] — относительно компактное [math]\iff[/math]

  1. [math]\exists M\ \forall x \in T : \|x\| \leq M [/math]
  2. [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 : | t'' - t' | \lt \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | \lt \varepsilon [/math]равностепенная непрерывность.

Рассмотрим [math]V = \{ x \mid \|x\| \le 1\}[/math] и [math]A(V)[/math].

[math]\|K(u, z)\| \le M, \|A(x)\| \le M\|x\|, x \in V, \|x\| \le 1 [/math]

[math]\|Ax\| \le M[/math]

[math]|A(x, t'') - A(x, t')| = |\int\limits_0^1 (K(t'', s) - K(t', s)) x(s) ds|[/math]

[math]K(u, z)[/math] непрерывна на компакте [math][0, 1] \times [0, 1][/math], следовательно, равномерно непрерывна на нем.

Отсюда, [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0: |t'' - t'| \lt \delta \implies |K(t'', s) - K(t', s)| \lt \varepsilon \forall s \in [0, 1][/math].

Таким образом, [math]|A(x, t'') - A(x, t')| \le \int\limits_0^1 \varepsilon |x(s)| ds \le \varepsilon \|x\| \lt \varepsilon[/math], получили равностепенную непрерывность [math]A[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Критерий проверки компактности[править]

Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, [math]\mathcal{I}x = x[/math] — не компактен.

Для определения компактности используется критерий Хаусдорфа: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная [math]\varepsilon[/math]-сеть.

Произведение компактных операторов[править]

Утверждение:
[math] A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) [/math], [math] C = B \cdot A [/math] (произведение, суперпозиция). Тогда:
  1. Если [math] B [/math] ­— ограниченный, [math] A [/math] ­— компактный, то [math] C [/math] ­— компактный.
  2. Если [math] B [/math] ­— компактный, [math] A [/math] ­— ограниченный, то [math] C [/math] ­— компактный.
[math]\triangleright[/math]

<wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично.

Рассмотрим единичный шар $V = \{ x \mid \
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (следствие):
Если [math] B [/math] — компактный оператор, то он (в бесконечномерном случае) не может быть непрерывно обратимым.
[math]\triangleright[/math]
От противного: пусть [math] \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} [/math] — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.
[math]\triangleleft[/math]

Компактность сопряженного оператора[править]

Утверждение:
Если [math]A: E \to F[/math] — компактный, то [math]A^*: F^* \to E^*[/math] — тоже компактный.
[math]\triangleright[/math]

(Стырено у прошлого курса)

По определению сопряженного оператора, если [math]\phi \in F^*[/math], то [math]A^*\phi = \phi A[/math].

1. Для доказательства необходимо показать, что множество [math]\{A^*\phi \mid \|\phi\| \le 1\}[/math] будет относительно компактно в [math]E^*[/math]. Для этого надо показать, что если взята последовательность [math]\{\phi_n\}[/math] такая, что [math]\|\phi_n\| \le 1[/math], то можно выбрать [math]\{\phi_{n_k}\}[/math] такую, что [math]A^*\phi_{n_k}[/math] сходится в [math]E^*[/math].

2. Рассмотрим в [math]E[/math] единичный замкнутый шар [math]\overline{V}[/math]. По компактности оператора [math]K = Cl(A(\overline{V})) \subset F[/math] будет метрическим компактом. Рассмотрим сужение функционалов [math]\phi_n[/math] на [math]K[/math].

3. Докажем равностепенную непрерывность этой последовательности: рассмотрим [math]y, z \in K[/math]. Норма

[math]\|\phi_n(z) - \phi_n(y)\| = \|\phi_n(z - y)\| \le \|\phi_n\| \|z - y\| \le \|z - y\|[/math]

не зависит от [math]n[/math], а следовательно [math]\{\phi_n\}[/math] равностепенно непрерывна.

4. Выполняется и равномерная ограниченность последовательности. Для любого [math]y \in K[/math]:

[math]\|\phi_n(y)\| \le \|\phi_n\| \|y\| \le \|y\| \le const[/math].

5. Таким образом [math]\{\phi_n\}[/math] равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, следовательно, по теореме Арцела — Асколи из нее можно выделить равномерно сходящуюся последовательность [math]\{\phi_{n_m}\}[/math] в [math]K[/math].

Для доказательства теоремы осталось показать, что [math]A^*\{\phi_{n_m}\}[/math] сходится в [math]E^*[/math]. Для этого достаточно выяснить, что [math]A^*\{\phi_{n_m}\}[/math] равномерно сходится (при устремлении [math]m[/math] к бесконечности) на [math]\overline{V}[/math].

6. Рассмотрим [math]\varepsilon \gt 0[/math]. По равномерной сходимости [math]\{\phi_{n_m}\}[/math] на [math]K[/math]: [math]\exists p_0 : \forall i, j \ge p_0 : \forall y \in K : \| \phi_{n_j}(y) - \phi_{n_i}(y) \| \le \varepsilon[/math].

7. Следовательно, для любого [math]x \in \overline{V}[/math] верно [math]\| \phi_{n_j}(Ax) - \phi_{n_i}(Ax) \| \le \varepsilon[/math]. Замечая, что [math]\phi_{n_i}(Ax) = A^*(\phi_{n_i}, x)[/math], приходим к равномерной сходимости [math]A^*\phi_{n_m}[/math] на [math]\overline{V}[/math].

Таким образом, теорема доказана.
[math]\triangleleft[/math]


Утверждение:
Пусть [math] A [/math] ­— компактный, тогда [math] R(A) [/math] — сепарабельно (то есть, в [math] R(A) [/math] существует счетное всюду плотное подмножество).
[math]\triangleright[/math]

[math] X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| \lt n \} [/math] — счетное объединение шаров.

[math] R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) [/math]

[math] A(V_n) [/math] — относительно компактно.

Используя теорему Хаусдорфа, можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение [math]\varepsilon[/math]-сетей при [math]\varepsilon = \frac1n[/math] для [math]n[/math] от [math]1[/math] до [math]\infty[/math] счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.

Счетное объединение сепарабельных множеств ­— сепарабельно, значит [math] R(A) [/math] — сепарабельно.
[math]\triangleleft[/math]