418
правок
Изменения
Нет описания правки
}}
== Вычисление ==
Заметим, что <tex>\sigma_{\xi} = \sqrt{D(\xi)} = E\big((\xi-E(\xi))^2\big)</tex>
: <tex dpi = "150">Corr(\eta,\xi)={Cov(\eta,\xi) \over \sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}} = {E\big((\eta-E\eta)(\xi-E\xi)\big) \over {\sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\xi)}}} ={E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over {\sigma_{\eta} \times \sigma_{\xi}}}</tex>
== Свойства корреляции ==
* Корреляция симметрична:
: <tex>Corr(\eta,\xi) = Corr(\xi,\eta)</tex>.
* Корреляция случайной величины с собой равна 1:
: <tex dpi = "150">Corr(\eta,\eta) = { E(\eta \times \eta) - E(\eta) \times E(\eta) \over \sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\eta)} } = {D(\eta) \over D(\eta)} = 1</tex>
* Если <tex>\eta,\xi</tex> независимые случайные величины, то
: <tex>Corr(\eta,\xi) = 0</tex>.
* Корреляция лежит не на всей вещественной оси
: <tex>-1 \leqslant Corr(\eta,\xi) \leqslant 1</tex>.
Для доказательства используем свойство ковариации: <tex>|Cov(\eta,\xi)| \leqslant \sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}</tex>. Тогда при раскрытии модуля получаем:
: <tex>-\sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)} \leqslant Cov(\eta,\xi) \leqslant \sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}</tex>.
Поделим левую и правую части на <tex>\sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}</tex> и получим: <tex dpi = "150">-1 \leqslant {Cov(\eta,\xi) \over \sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}} \leqslant 1</tex>, т.е.
: <tex>-1 \leqslant Corr(\eta,\xi) \leqslant 1</tex>, ч.т.д.
== Примеры ==
