[[Категория: Математическая логика]]
[[Лекция 2 | <<]][[Лекция 4 | >>]]
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Gamma</tex> - некоторые некоторый список высказываний, <tex>\alpha</tex> - некоторое высказывание в исчислении <tex>\langle L, A, R \rangle</tex>. Тогда будем говорить, что <tex>\alpha</tex> '''выводится''' из <tex>\Gamma</tex> (запись: <tex>\Gamma \vdash \alpha</tex>), если существует доказательство <tex>\alpha</tex> в исчислении <tex>\langle L, A_1, R \rangle</tex>, где <tex>A_1</tex> - это <tex>A</tex> с добавленными формулами из <tex>\Gamma</tex>. Элементы <tex>\Gamma</tex> называются допущениями, предположениями, или гипотезами.
}}
Замечание: в этом определении появляются дополнительные предположения, поэтому речь идет именно о ''выводе'', а не о ''доказательстве''. Очевидно, что, если <tex>\Gamma = \varnothing</tex>, то <tex>\Gamma \vdash \alpha</tex> соответствует <tex>\vdash \alpha</tex>.
{{Теорема
|author=
Modus Ponens(M.P.)
|statement=
Пусть справедливо <tex>\alpha \rightarrow \beta</tex>, так же справедливо <tex>\alpha</tex>. Тогда по правилу M.P. справедливо <tex>\beta</tex>
}}
{{Теорема
}}
[[Категория{{Теорема|about= о дедукции|statement=Пусть справедливо <tex>\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta</tex>. Тогда справедливо <tex>\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta</tex>.|proof=Имеется вывод <tex>\delta_1, ..., \delta_{m-1}, \beta</tex>. Набросаем план вывода, формулы в нем занумеруем через 10 ('''<s>Ну да, логика же</s>'''): <tex>(10)</tex> <tex>\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \delta_1</tex> ... <tex>(10m - 10)</tex> <tex>\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \delta_{m-1}</tex> <tex>(10m)</tex> <tex>\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta</tex> Дополним план до полноценного вывода. Рассмотрим формулу номер <tex>i</tex>. Возможны следующие варианты:# <tex>\delta_i</tex> --- аксиома или предположение, входящее в <tex>\Gamma</tex>. Тогда вставим перед этой формулой <tex>\delta_i</tex> и <tex>\delta_i \rightarrow (\alpha \rightarrow \delta_i)</tex>, формула верна по M.P.# <tex>\delta_i = \alpha</tex>. Тогда вставляем перед формулой 4 формулы из леммы.# <tex>\delta_i</tex> выводится по M.P. из <tex>\delta_j</tex> и <tex>\delta_k</tex>, где <tex>j, k < i</tex>. Выведем <tex>\alpha \rightarrow \delta_i</tex>, добавив <tex>(\alpha \rightarrow \delta_j) \rightarrow ((\alpha \rightarrow (\delta_j \rightarrow \delta_i)) \rightarrow (\alpha \rightarrow \delta_i))</tex> (сх. акс. 2) и <tex>(\alpha \rightarrow (\delta_j \rightarrow \delta_i)) \rightarrow (\alpha \rightarrow \delta_i)</tex> (M.P. из <tex>j</tex> и предыдущей)}} {{Определение|definition=Высказывание <tex>\alpha</tex> следует из высказываний <tex>\Gamma</tex>, если при любой оценке пропозициональных переменных, входящих в высказывания, на которых все высказывания из <tex>\Gamma</tex> истинны, <tex>\alpha</tex> также истинно. Запись: Математическая логика]]<tex>\Gamma \models \alpha</tex>.}} ==Теорема о полноте исчисления высказываний== {{Лемма|statement= Если <tex>\Gamma \vdash \alpha</tex>, то <tex>\Gamma, \gamma \vdash \alpha</tex>. Если <tex>\Gamma_1, \Gamma_2 \vdash \alpha</tex>, то <tex>\Gamma_2, \Gamma_1 \vdash \alpha</tex>. Аналогично для следствия.|proof= '''КТО МОЖЕТ НАПИСАТЬ ЭТО ФОРМАЛЬНО?'''}}
