Изменения

* <tex>X = \mathbb{R}^{\infty}</tex>. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: <tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex> (TODO: как она называетсястандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, кстати?коим и является <tex>R^{\infty}</tex>). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:

* <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>, то есть множество всех функций из <tex>[0; 1]</tex> в <tex>\mathbb{R}</tex>. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной (TODO<ref>Кому интересно: почему?метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, а она не может выполняться в <tex>X = \mathbb{I}^{\mathbb{I}}</tex>, которое понятно как сводится к <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>: [http://math.stackexchange.com/questions/65472/why-is-0-10-1-not-first-countable ''Why is <tex>[0,1]^{[0,1]}</tex> not first countable?)'']</ref>.

Точка $<tex>x$ </tex> называется '''пределом последовательности $<tex>x_n$ </tex> в топологическом пространстве''' $<tex>(X, \tau)$</tex>, если $<tex>\forall G \ni x \exists N \forall n > N: x_n \in G$</tex>, то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.

Множество $<tex>U$ </tex> называет '''окрестностью''' в ТП, если существует открытое $<tex>G$</tex>: $<tex>x \in G \subset U$</tex>.

Отображение $<tex>f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)$ </tex> называют непрерывным в точке $<tex>x \in X$</tex>, если для любой окрестности $<tex>U_{f(x)}$ </tex> существует окрестность $<tex>U_x$</tex>: $<tex>f(U_x) \subset U_{f(x)}$</tex>.

Характеристика непрерывных отображений ТП: $<tex>f$ </tex> непрерывно тогда и только тогда, когда для любого $<tex>G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1$</tex>, то есть прообраз любого открытого множества также открыт. (TODO: в конспекте только в прямую сторону, но вообще вроде это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107)

Для любого МП $<tex>(X, \rho)$ </tex> можно ввести '''метрическую топологию''' выделим в семейство открытых множеств $<tex>\tau$ </tex> множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это удовлетворяет аксиомам ТП:# Очевидно (видимо, $<tex>X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)$</tex>, где $<tex>x$ </tex> — любая точка $<tex>X$ </tex> если оно непустое, а если пустое, то просто не будем брать ни одного множества)

#: $<tex>G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup\limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup\limits_{\beta} V'') = \bigcup\limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')$</tex>. (То, что так можно сделать, доказывается включением в обе стороны)#: Рассмотрим $<tex>V' \bigcap V''$</tex>: $<tex>\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''$ </tex> (раньше когда-то доказывали), тогда $<tex>V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)$</tex>

$<tex>\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}$</tex>, где $<tex>\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, y)$</tex>.

$ <tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} $</tex>. Т.к. $ <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing $ </tex> и $ <tex> F_1, F_2 $ </tex> - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, $ <tex> f(x) $ </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности $ <tex> \rho $</tex>. При этом: $ <tex> x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 $</tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: $ <tex> (- \infty; \frac 1 3) $ </tex> и $ <tex> (\frac 1 2, + \infty) $</tex>. Т.к. $ <tex> f(x) $ </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).: $ <tex> G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) $</tex>: $ <tex> F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing $</tex>, ч.т.д.

МП $<tex>(X, \rho)$ </tex> называется '''полным''', если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится.

Пусть $<tex>(X, \rho)$ </tex> — полное. $<tex>\overline V_n$ </tex> — замкнутые шары. $<tex>\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n$</tex>, $<tex>r_n \to 0$</tex>. Тогда $<tex>\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset$</tex>, и является точкой.

Пусть $<tex>a_n$ </tex> — центр соответствующего шара, тогда из вложенности $<tex>\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n$</tex>, то есть последовательность центров сходится в себе, так как $<tex>r_n \to 0$</tex>. Тогда по полноте последовательность центров сходится к $<tex>a$</tex>, множество $<tex>\{a\}$ </tex> и есть искомое перечечение.

$<tex>A$ </tex> '''всюду плотно''' в $<tex>(X, \rho)$</tex>, если $<tex>\mathrm{Cl} A = X$</tex>: Например, $<tex>\mathbb{Q}$ </tex> всюду плотно в $<tex>\mathbb{R}$</tex>, так как $<tex>\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}$ </tex> (TODO:ох, что бы это значило. Видимо, что множество действительных чисел строится включением пределов последовательностей рациональных.)

$<tex>A$ </tex> '''нигде не плотно''' в $<tex>(X, \rho)$</tex>, если $<tex>\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \emptyset$</tex>. В смысле метрических пространств это значит, что в любом шаре есть шар, не содержащий точек $<tex>A$</tex>.: Например, $<tex>\mathbb{Z}$ </tex> нигде не плотно в $<tex>\mathbb{R}$</tex>.

Подмножество $<tex>A$ </tex> топологического пространства $<tex>X$ </tex> имеет '''I категорию по Бэру в пространстве $<tex>X$</tex>''' если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в $<tex>X$ </tex> множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.

Пусть $<tex>X$ </tex> — полное и является множеством I категории, то есть представимо как $<tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n$</tex>, где $<tex>M_n$ </tex> — нигде не плотно в $<tex>X$</tex>. Возьмем замкнутый шар $<tex>\overline V_0$</tex>, например, радиуса 1. Как как $<tex>M_1$ </tex> нигде не плотно в $<tex>X$</tex>, оно также нигде не плотно в $<tex>\overline V_0$</tex>, а, значит, существует замкнутый шар $<tex>\overline V_1$ </tex> радиуса меньше $<tex>1 \over 2$</tex>, содержащийся в $<tex>\overline V_0$ </tex> и не пересекающийся с $<tex>M_1$ </tex> ($<tex>M_1 \cap \overline V_1 = \emptyset$</tex>). Аналогично, $<tex>M_2$ </tex> нигде не плотно в $<tex>\overline V_1$</tex>, и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров ($<tex>\overline V_{n+1} \subset \overline V_n$</tex>) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку $<tex>x$</tex>, но эта точка не может лежать ни в одном из множеств $<tex>M_n$ </tex> по построению, то есть получили противоречие и $<tex>X$ </tex> не является множеством первой категории.

Пусть $<tex>(X, \rho)$ </tex> — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть $<tex>X$ </tex> — счетно, то есть можно занумеровать его элементы как $<tex>\{ x_1 \dots x_n \dots \}$ </tex> и представить $<tex>X$ </tex> как $<tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}$</tex>. Но одноточечные множества нигде не плотны в $<tex>X$</tex>, тогда оно является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, $<tex>X$ </tex> должно быть несчетно.

Замкнутое $<tex>K \subset X$ </tex> называют '''компактом''', если из любой последовательности точек в $<tex>K$ </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

$<tex>A \subset X$ </tex> называют '''вполне ограниченным''', если для него при любом $<tex>\varepsilon$ </tex> существует конечная $<tex>\varepsilon$</tex>-сеть, то есть $<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)$</tex>.

Пример: $<tex>R^{\infty}$ </tex> — полное, так как метрика индуцирует покоординатную сходимость. TODO: пшшш какая-то хрень про диагональ Кантора.

$<tex>\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots$ </tex> — компакт в $<tex>R^{\infty}$</tex>.

$<tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}$</tex>, где $<tex>{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1$</tex>, также $<tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} < \varepsilon$</tex>. Таким образом, для каждого $<tex>\varepsilon$ </tex> можно выбрать номер координаты $<tex>n_0$</tex>, такой что все координаты с большими $<tex>n_0$ </tex> номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на $<tex>\varepsilon$</tex>.

Расмотрим $<tex>\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \subset R^{n_0}$ </tex> — для него можно составить конечную $<tex>\varepsilon$</tex>-сеть $<tex>A$ </tex> (понятно что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть $<tex>A'$ </tex> для $<tex>\Pi$ </tex> следующим образом: к каждой $<tex>n_0$</tex>-мерной точке из $<tex>A$ </tex> допишем произвольные координаты $<tex>x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots$</tex>.* По выбору $<tex>\varepsilon$</tex>: $<tex>\forall x' \in \Pi \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) < \varepsilon$</tex>.* По определению $<tex>\varepsilon$</tex>-сети для $<tex>A$</tex>: $<tex>\forall \varepsilon > 0 \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) < \varepsilon$</tex>.* По построению $<tex>A'$ </tex> и выбору $<tex>\varepsilon$</tex>, $<tex>\forall a \in A \exists a' \in A': \rho(a, a') < \varepsilon$</tex>.

Таким образом, $<tex>\forall \varepsilon > 0 \forall x' \in \Pi \exists a' \in A': \rho(x', a') \le \rho(x', x) + \rho(x, a) + \rho(a, a') \le 3 \varepsilon$</tex>, то есть построили конечную $<tex>3\varepsilon$</tex>-сеть.

TODO: пшшш какая-то хрень про сигма-алгебры. Короче, вводится метрика $<tex>\rho(f, g) = \int\limits_E {|f - g| \over 1 + |f - g|} d \mu$</tex>, в такой метрике сходимость равносильна сходимости по мере.

<references></wikitexreferences>