Изменения
опечатка
{{Определение
|id=defms
'''Внутренностью (interior)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G</tex>, где <tex> G </tex> — открытые множества.
'''Замыкание Замыканием (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.
'''Границей (boundary, frontier)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A</tex>.
|id=defnbh
|definition=
Множество <tex>U</tex> называется '''окрестностью''' точки <tex> x </tex> в ТП, если существует открытое <tex>G</tex>: <tex>x \in G \subset U</tex>.
}}
Характеристика непрерывных отображений ТП: <tex>f</tex> непрерывно, если для любого <tex>G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1</tex>, то есть прообраз любого открытого множества также открыт.<ref>В конспекте только в прямую сторону, но вообще, вроде, это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107.</ref>
Для любого МП <tex>(X, \rho)</tex> можно ввести '''метрическую топологию''': выделим в <tex> X </tex> семейство открытых множеств <tex>\tau</tex> множества, являющимися объединениями любого (возможно, несчетного) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:
# Очевидно, <tex>X = \bigcup\limits_{x \in X}\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)</tex>.
# Очевидно.
# Докажем для пересечения двух множеств, дальше по индукции:
#: <tex>G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup\limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup\limits_{\beta} V'') = \bigcup\limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')</tex>. (То, что так можно сделать, доказывается включением в обе стороны)
#: Рассмотрим <tex>V' \bigcap V''</tex>: <tex>\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''</tex> ([[Метрическое пространство#Открытые шары | раньше когда-то доказывали]]), тогда <tex>V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)</tex>
В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.
Обозначим <tex>B = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>. Понятно, что если некоторая последовательность <tex>x_n \in B</tex> сходится к <tex>x</tex>, то <tex>\rho(x_n, A) = 0</tex>, и <tex>\rho(x, A) = 0</tex>, то есть, по определению <tex>B</tex>, <tex>x \in B</tex>. Значит, <tex>B = \mathrm{Cl} B</tex>, <tex>B</tex> замкнуто.
Если <tex>a \in A</tex>, то <tex>\rho(a, A) = 0</tex> и <tex>a \in B</tex>. Значит, <tex>\mathrm{Cl} A \subset B</tex>. {{TODO|t=ШТОООАААААА??? Мы тут доказали, что а раз <tex> A \subset B </tex>замкнуто, про то <tex> \mathrm{Cl} A </tex> ничего сказать нельзя, пока не докажем <tex> a \in \mathrm{Cl} A \implies \rho(a, A) = 0 subset B</tex>. --[[Участник:Sementry|Мейнстер Д.]] 22:57, 12 февраля 2013 (GST)}}
Теперь покажем, что <tex>B \subset \mathrm{Cl} A </tex>, то есть <tex>B \subset \bigcap\limits_{A \subset F } F </tex>, или что для любого <tex>F: A \subset F</tex>, выполняется <tex>B \subset F</tex>.
|statement=
Пусть <tex> A </tex> нигде не плотно в <tex> (X, \rho) </tex>. Тогда в любом шаре есть шар, не содержащий точек <tex>A</tex>.
|proof=Пусть <tex> B = \mathrm{Cl} A </tex>, так как <tex> A </tex> нигде не плотно в <tex> X </tex>, то <tex> \mathrm{TODO|tInt} B = \varnothing </tex>. Это значит, что <tex>\bigcup\limits_{G \subset B} G = \varnothing </tex>, то есть, любое непустое открытое <tex> G </tex> не является подмножеством <tex> B </tex>. Рассмотрим произвольный открытый шар <tex> V </tex>, <tex> V = (V \cap B) \cup (V \cap \overline B) </tex>. Из наших рассуждений следует, что <tex> V \cap \overline B </tex> непусто. Но <tex> \overline B </tex> {{---}} открытое множество, <tex> \overline B =доказать\bigcup\limits_{\alpha}V_{r_\alpha}(a_\alpha) </tex>, <tex> \exists V_1: V \cap V_1 \ne \varnothing </tex>. Тогда можно просто выбрать <tex> V_r(a) \subset V \cap V_1 </tex>, он и будет искомым шаром без точек <tex> A </tex>.
}}
Пример: <tex>R^{\infty}</tex> — полное.
|proof=
Нужно установить равносильность сходимости <tex> \overline x^{(n)} \in R^{\infty} </tex> и ее сходимости в себе.
