1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Пару <tex>(X, \rho)</tex> называют '''метрическим пространством'''.
}}
{{Определение
|id=defmsconv
|definition=
Последовательность <tex>x_n</tex> '''сходится''' к <tex>x</tex> в МП <tex>(X, \rho)</tex> (записывают <tex> x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n</tex>), если <tex> \rho(x_n, x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>
}}
Некоторые примеры метрических пространств:
* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex>111
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</tex>
* <tex>X = \mathbb{R}^{\infty}</tex>. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. <tex> x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \rho(x_n, x) \to 0</tex>. TODO: к чему это? Введем метрику: <tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>. Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
** этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1</tex>, соответственно, расстояние ограничено единицей.
** первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обратную сторону обе стороны очевидно, в прямую хз TODO
** вторая аксиома: еще очевиднее
** третья аксиома: рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>. Так как <tex>f</tex> выпукла вверх, <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, то есть все три аксиомы выполняются. TODO: ШТО? Почему?(Откуда это неравенство и как из этого следует выполнение аксиомы?
*: Сходимость в этой метрике эквивалентна покоординатной (TODO: почему?).
* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
