Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Метрические пространства

2859 байт добавлено, 18:44, 30 декабря 2012
Нет описания правки
|id=deftslimit
|definition=
Точка $x$ называется '''пределом последовательности $x_n$ в топологическом пространстве'''' $(X, \tau)$, если $\forall G \ni x \exists N \forall n > N: x_n \in G$, то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.
}}
|statement=
$\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}$, где $\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, y)$.
|proof=
TODO: какое-то странное вспомогательное утверждение про непрерывность
Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами. (TODO: вообще в аксиоме говорится про окрестности, а не шары, важно ли это?)
Классификация Бэра:{{Определение|id=defmscompl|definition=МП $(X, \rho)$ называется '''полным''', если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится.}}
{{Утверждение
|about=
принцип вложенных шаров
|statement=
Пусть $(X, \rho)$ — полное. $\overline V_n$ — замкнутые шары. $\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n$, $r_n \to 0$. Тогда $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset$, и является точкой.
|proof=
Пусть $a_n$ — центр соответствующего шара, тогда из вложенности $\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n$, то есть последовательность центров сходится в себе, так как $r_n \to 0$. Тогда по полноте последовательность центров сходится к $a$, множество $\{a\}$ и есть искомое перечечение.
 
TODO: интересно, а почему важна замкнутость?
}}
 
{{Определение
|id=defdense
|definition=
$A$ '''всюду плотно''' в $(X, \rho)$, если $\mathrm{Cl} A = X$
: Например, $\mathbb{Q}$ всюду плотно в $\mathbb{R}$, так как $\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}$ (TODO:ох, что бы это значило. Видимо, что множество действительных чисел строится включением пределов последовательностей рациональных.)
$A$ '''нигде не плотно''' в $(X, \rho)$, если $\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \emptyset$. В смысле метрических пространств это значит, что в любом шаре есть шар, не содержащий точек $A$.
: Например, $\mathbb{Z}$ нигде не плотно в $\mathbb{R}$.
}}
$A$ имеет '''I категорию по Бэру''' если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.
{{Определение
|id=defmscompldefbaire
|definition=
МП Подмножество $A$ топологического пространства $(X, \rho)$ называется имеет '''полнымI категорию по Бэру в пространстве $X$''', если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в нем любая сходящаяся $X$ множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.}} {{Теорема|id=thbaire|author=Бэр|statement=Полное МП является множеством II категории в себе последовательность сходится.|proof=Пусть $X$ — полное и является множеством I категории, то есть представимо как $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n$, где $M_n$ — нигде не плотно в $X$. Возьмем замкнутый шар $\overline V_0$, например, радиуса 1. Как как $M_1$ нигде не плотно в $X$, оно также нигде не плотно в $\overline V_0$, а, значит, существует замкнутый шар $\overline V_1$ радиуса меньше $1 \over 2$, содержащийся в $\overline V_0$ и не пересекающийся с $M_1$ ($M_1 \cap \overline V_1 = \emptyset$). Аналогично, $M_2$ нигде не плотно в $\overline V_1$, и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров ($\overline V_{n+1} \subset \overline V_n$) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку $x$, но эта точка не может лежать ни в одном из множеств $M_n$ по построению, то есть получили противоречие и $X$ не является множеством первой категории.
}}
{{Утверждение
|about=принцип вложенных шаровследствие из т. Бэра
|statement=
Пусть $(X, \rho)$ — полное. $\overline V_n$ — замкнутые шары. $\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n$, $r_n \to 0$. Тогда $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset$, и является точкойПолное МП без изолированных точек несчетно.
|proof=
Пусть $a_n$ — центр соответствующего шара(X, тогда из вложенности $\forall m > n: \rho)$ — МП без изолированных точек (a_nто есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, a_mотличные от нее) < r_n. Пусть $X$ — счетно, то есть последовательность центров сходится в себе, так можно занумеровать его элементы как $r_n \to 0{ x_1 \dots x_n \dots \}$. Тогда по полноте последовательность центров сходится к и представить $aX$, множество как $\bigcup\limits_{n=1}^{a\infty} \{ x_n \}$ и есть искомое перечечение.Но одноточечные множества нигде не плотны в $X$, тогда оно является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, $X$ должно быть несчетно.}}
Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси. (TODO: интересно, а почему важна замкнутостьШто?}}Как?)
</wikitex>
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Служебная:Сравнение_версий/28617»

Навигация