Изменения

|definition = '''Нера́венство Ма́ркова'''(англ. Markov's inequality) в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно

| statement = Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+</tex> определена на [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]] (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|<\mathcal {1}</tex>. Тогда : : <tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>где : : <tex> x </tex> {{--- }} константа соответствующая некоторому событию в терминах [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]: <tex> \xi </tex> {{- --}} случайная величина : <tex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)</tex> {{- --}} вероятность отклонения модуля случайной величины от <tex> x </tex>: <tex>\mathbb E\mathrm |\xi|</tex> {{--- }} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайной величины

Пусть <tex> A</tex> {{- --}} некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>A</tex> случайную величину <tex>I</tex>, равную единице если событие <tex>A</tex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)</tex> имеет распределение Бернулли с параметром :

== Примеры Пример ==

|definition = '''Неравенство Чебышева'''(англ. Chebyshev's inequality) является следствием [[#thMark|неравенства Маркова]] и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.

:<tex>\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) \leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</tex>где : : <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2</tex> {{- --}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] квадрата случайного события.: <tex>E\mathrm \xi</tex> {{-- -}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайного события : <tex> P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) </tex> {{- --}} вероятность отклонения случайного события от его [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] хотя бы на <tex> x</tex> : <tex> \mathbb D\mathrm \xi </tex> {{--- }} [[Дисперсия случайной величины|дисперсия случайного события]]

Как следствие получим так называемое "правило трех сигм",которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] более чем на три корня из [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]] мала.