Изменения

<nowiki>{{Определение |definition = '''Нера́венство Ма́ркова ''' (англ. ''Markov's inequality'') в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Получаемая оценка обычно груба. Однако, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.}}{{Теорема| id = thMark| about = Неравенство Маркова| statement = Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R_\mathrm+</nowikitex>определена на [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]] (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|</tex> конечно. Тогда:: <tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>где:: <tex> x </tex> {{---}} константа соответствующая некоторому событию в терминах [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]: <tex> \xi </tex> {{---}} случайная величина: <tex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)</tex> {{---}} вероятность отклонения модуля случайной величины от <tex> x </tex>: <tex>\mathbb E\mathrm |\xi|</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайной величины| proof = Возьмем для доказательства следующее понятие:

Пусть <tex> A</tex> {{---}} некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>A</tex> случайную величину <tex>I</tex>, равную единице если событие <tex>A</tex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)</tex> имеет [[Схема Бернулли|распределение Бернулли]] с параметром::<tex> p =\mathbb P\mathrm (I(A) = Формулировка 1) =\mathbb P\mathrm (A)</tex>,и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] равно вероятности успеха<tex> p =\mathbb P\mathrm (A) </tex>.Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <tex>I(A) + I(\overline A) = 1</tex>. Поэтому:<tex>|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|<x)+|\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\cdot I(|\xi| \geqslant x)</tex>.Тогда::<tex> \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\cdot I(|\xi|\geqslant x)) = x\cdot \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) </tex>.Разделим обе части на <tex>x</tex>::<tex> \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>}}

Пусть студенты никогда не приходят вовремя, они всегда опаздывают. В среднем они опаздывают на <tex>3</tex> минуты. Какова вероятность того, что студент опоздает на <tex>15</tex> минут и более? Дать грубую оценку сверху.: <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant 15)\leqslant \dfrac{3}{15} == Доказательство ==0.2</tex>

Возьмем для доказательство следующее понятие== Неравенство Чебышева ==  {{Определение |definition = '''Неравенство Чебышева''' (англ. Chebyshev's inequality) является следствием [[#thMark|неравенства Маркова]] и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.}} {{Теорема|id = thCheb|about = Неравенство Чебышева|statement =Если <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2<\mathcal 1</tex>, то <tex>\forall x > 0</tex> будет выполнено :<tex>\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) \leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</tex>где: Пусть : <mathtex> A\mathbb E\mathrm \xi^2</mathtex> {{-- некоторое событие-}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] квадрата случайного события. Назовем индикатором : <tex>E\mathrm \xi</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайного события: <tex> P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) </tex> {{---}} вероятность отклонения случайного события от его [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] хотя бы на <tex> x</tex>: <mathtex>A\mathbb D\mathrm \xi </mathtex> случайную величину {{---}} [[Дисперсия случайной величины|дисперсия случайного события]]|proof =Для <mathtex>x>I0</mathtex>, равную единице если событие неравенство <mathtex>A|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x</mathtex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина равносильно неравенству <mathtex>I(A\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2</mathtex> имеет распределение Бернулли с параметром , поэтому <mathtex> p \mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) = \mathbb P\mathrm(I(A\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2 ) \leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi) ^2}{x^2} = \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</tex>}} == Следствие == Как следствие получим так называемое "правило трех сигм", которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] более чем на три корня из [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]] мала. {{Утверждение| statement = Если <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</tex>, то <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \leqslant 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi}) \geqslant \dfrac {8}{9}</tex>. | proof = Если в доказательстве [[#thCheb|неравенства Чебышева]] вместо <tex> \geqslant </tex> поставить <tex> > </tex> рассуждения не изменятся, так какдля <tex>x>0</tex> неравенство <tex>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| > x</tex> равносильно неравенству <tex>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 > x^2</tex>, поэтому: : <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|> 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{(A3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \dfrac {1} {9}</tex>Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] меньше чем <tex>\dfrac {1}{9}</tex>}} == См. также ==* [[Дискретная случайная величина]]* [[Дисперсия случайной величины]]* [[Математическое ожидание случайной величины]] == Источники информации ==* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0 Википедия {{---}} Неравенство Маркова]* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%A7%D0%B5%D0%B1%D1%8B%D1%88%D1%91%D0%B2%D0%B0#.D0.9D.D0.B5.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE_.D0.A7.D0.B5.D0.B1.D1.8B.D1.88.D1.91.D0.B2.D0.B0_.D0.B2_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B8_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9 Википедия{{---}} Неравенство Чебышева]*[https://en.wikipedia.org/wiki/Markov%27s_inequality Wikipedia {{---}} Markov's inequality]*[https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_inequality Wikipedia {{---}} Chebyshev's inequality]*[https://www.probabilitycourse.com/chapter6/6_2_2_markov_chebyshev_inequalities.php Markov and Chebyshev Inequalities] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Теория вероятности]]