286
правок
Изменения
→Пример
{{Определение
|definition = '''Нера́венство Ма́ркова ''' (англ. ''Markov's inequality'') в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно
явным образом.
}}
{{Теорема| id =thMark| about = Формулировка Неравенство Маркова| statement =Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R_\mathrm+</tex> определена на [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]] (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|</tex> конечно. Тогда:: <tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>где:: <tex> x </tex> {{---}} константа соответствующая некоторому событию в терминах [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]: <tex> \xi </tex> {{---}} случайная величина: <tex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)</tex> {{---}} вероятность отклонения модуля случайной величины от <tex> x </tex>: <tex>\mathbb E\mathrm |\xi|</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайной величины| proof =Возьмем для доказательства следующее понятие:
Пусть случайная величина <mathtex> A</tex> {{---}} некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+A</mathtex> определена на вероятностном пространстве (случайную величину <mathtex>\OmegaI</mathtex>, равную единице если событие <mathtex>FA</mathtex>произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)<math/tex>имеет [[Схема Бернулли|распределение Бернулли]] с параметром::<tex> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb RP\mathrm (A)</mathtex>), и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание ]] равно вероятности успеха<mathtex> p = \mathbb EP\mathrm (A) </tex>.Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <tex>I(A) + I(\overline A) = 1</tex>. Поэтому:<tex>|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|<x)+|\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\mathcal {1}cdot I(|\xi| \geqslant x)</mathtex>. Тогда : :<mathtex>\forall ~mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\cdot I(|\xi|\geqslant x)) = x > 0~~ \cdot \mathbb P\mathrm(|\xi| \ge geqslant x)</tex>.Разделим обе части на <tex>x</tex>::<tex> \le mathbb P (|\frac xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </mathtex>== Доказательство ==}}
Пусть <math> A</math> - некоторое событиестуденты никогда не приходят вовремя, они всегда опаздывают. Назовем индикатором события В среднем они опаздывают на <mathtex>A3</mathtex> случайную величину <math>I</math>, равную единице если событие <math>A</math> произошло, и нулю в противном случаеминуты. По определению величина <math>I(A)</math> имеет распределение Бернулли с параметром <math> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</math>Какова вероятность того, и ее математическое ожидание равно вероятности успеха что студент опоздает на <mathtex> p = \mathbb P\mathrm (A) 15</mathtex>. Индикаторы прямого минут и противоположного событий связаны равенством <math>I(A) + I(\overline A) = 1</math>более? Дать грубую оценку сверху. Поэтому <math>|\xi|=|\xi|*I(|\xi|<x)+|\xi|*I(|\xi|\ge x)\ge |\xi|*I(|\xi|\ge x)\ge x*I(|\xi| \ge x)</math>.Тогда <math>\mathbb E\mathrm |\xi|\ge \mathbb E\mathrm(x*I(|\xi|\ge x)) = x*\mathbb P\mathrm (|\xi|\ge x)</math>.Разделим обе части на <math>x</math>: <mathtex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \ge xgeqslant 15)\le leqslant \frac dfrac{\mathbb E\mathrm |\xi|3}{x15} = 0.2</mathtex> == Неравенство Чебышева ==
{{Определение |definition == Примеры =='''Неравенство Чебышева''' (англ. Chebyshev's inequality) является следствием [[#thMark|неравенства Маркова]] и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.}}
:<tex>\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) \leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</tex>где:: <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] квадрата случайного события.: <tex>E\mathrm \xi</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайного события: <tex> P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) </tex> {{---}} вероятность отклонения случайного события от его [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] хотя бы на <tex> x</tex>: <tex> \mathbb D\mathrm \xi </tex> {{---}} [[Дисперсия случайной величины|дисперсия случайного события]]|proof =Для <tex>x>0</tex> неравенство <tex>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x</tex> равносильно неравенству <tex>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2</tex>, поэтому <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) = Неравенство Чебышева =\mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2 ) \leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} =\dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</tex>}}
{{Утверждение| statement == Доказательство == Если <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</tex>, то <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \leqslant 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\geqslant \dfrac {8}{9}</tex>.
== Следствие См. также ==* [[Дискретная случайная величина]]* [[Дисперсия случайной величины]]* [[Математическое ожидание случайной величины]]
