Объём n-мерного прямоугольника

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

<<>>


TODO: ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ


Определение:
[math]\mathbb{R}^n, \Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}[/math]


Определение:
[math]v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)[/math] — объём прямоугольника


Свойства объема прямоугольников в R^n[править]

Выведем три основных свойства объемов прямоугольников:

Свойство 1[править]

Утверждение:
Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] попарно не имеют общих внутренних точек, [math]\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi[/math](прямоугольник), тогда [math]v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math].
[math]\triangleright[/math]

Доказательство основано на следующем тождестве: Если дано какое-то разбиение отрезка [math]a=x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_m=b[/math], то

[math]b - a = \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} (x_{k + 1} - x_k)[/math]

Далее доказательство полностью аналогично доказательству для многократного интеграла. План:

  1. Доказать для разбиения на клетки
  2. Обобщить


TODO: Неплохо бы написать полное доказательство здесь, хотя казалось бы оно очевидное
[math]\triangleleft[/math]

Свойство 2[править]

Утверждение:
Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] попарно не имеют общих внутренних точек и [math]\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi[/math]. Тогда [math]v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math]
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства заметим, что совокупность прямоугольников — полукольцо множеств(аксиомы проверяются непосредственно). Поэтому, данная формула доказывается по аналогии меры в полукольце, но вместо бесконечной суммы здесь используется конечная.

TODO: Доказать
[math]\triangleleft[/math]

Свойство 3[править]

Утверждение:
Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] — прямоугольники, [math]\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j[/math]. Тогда [math]v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math]
[math]\triangleright[/math]

Это свойство тоже доказывается аналогично соответствующему свойству меры в полукольце.

TODO: Доказать
[math]\triangleleft[/math]

Ячейки[править]

Хотя совокупность всех прямоугольников и является полукольцом, целесообразно его заузить, а именно:


Определение:
Пусть [math]\bar a = (a_1, \ldots, a_n)[/math], [math]\bar b = (b_1, \ldots, b_n)[/math]. Тогда ячейка [math][\overline a; \overline b) = [a_1; b_1) \times \cdots \times [a_n; b_n)[/math].


Следующие утверждения проверяются непосредственно:

Утверждение:
Пересечение ячеек — ячейка
Утверждение:
Разность ячеек — объединение двух (вообще, конечного числа) дизъюнктных ячеек
Утверждение:
Совокупность ячеек — тоже полукольцо

Но ячеек, так сказать, меньше, чем прямоугольников.

Далее символом [math] \mathcal{R} [/math] будем обозначать полукольцо ячеек.

Утверждение:
[math]v(\Pi)[/math] — конечная полуаддитивная функция на [math]\mathcal{R}[/math] в силу свойств [math] v [/math].

Мера на множестве ячеек[править]

Теорема:
Объём ячейки — [math]\sigma[/math]-аддитивная функция на [math]\mathcal{R}[/math], то есть, мера на этом множестве.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство будет основано на том, что если в [math]\mathbb{R}^n[/math] ограниченное замкнутое множество содержится в некотором объединении открытых множеств, то из такого покрытия можно выделить конечное подпокрытие (это верно, так как [math] \mathbb {R} ^n [/math] — компакт).

[math]\Pi = \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j[/math] — дизъюнктны. Нужно доказать, что [math]v(\Pi) = \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j)[/math].

[math]\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j \subset \Pi \Rightarrow [/math] (по второму свойству [math]v[/math]) [math]\sum\limits_{j=1}^p v(\Pi_j) \leq v(\Pi)[/math]

Устремляя [math]p\to\infty[/math], получаем, что [math]\sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) \leq v(\Pi)[/math]

Осталось доказать противоположное неравенство.

[math]v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)[/math]

Если на это величину смотреть как на функцию двух переменных, то она будет непрерывна как произведение непрерывных функций.

Значит, малое отклонение аргумента приведёт к малому изменению значения функции.

[math]\Pi_j \subset \Pi_j^o[/math](открытое). Погружаем [math]\Pi_j[/math] в открытый прямоугольник [math]\Pi_j^o[/math] таким образом, чтобы [math]v(\Pi_j^o) \lt v(\Pi_j) + \frac{\varepsilon}{2^j}[/math]. Это можно сделать по непрерывности [math]v[/math].

В результате получаем, что [math]\Pi\subset\bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o[/math]


Определение:
[math]\Pi^c[/math] — замыкание ячейки [math]\Pi^o[/math]


Утверждение:
Замыкание не изменяет объёма

Однако, после замыкания множество становится компактом.

[math]\Pi^c \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o[/math]

В силу свойства компактов, из получившегося покрытия выбираем конечное подпокрытие:

[math]\Pi\subset\Pi^c\subset\bigcup\limits_{k=1}^p\Pi_{j_k}^o[/math]

По третьему свойству объёма, [math]v(\Pi) = v(\Pi^c) \leq \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}^o) \lt \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}) + \sum\limits_{k=1}^p \frac\varepsilon{2^{j_k}}[/math] [math]\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) + \varepsilon[/math].

При [math] \varepsilon \rightarrow 0 [/math], [math]\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) [/math], обратное неравенство установлено, и корректность определения меры доказана.
[math]\triangleleft[/math]

<<>>

Эта статья находится в разработке!