Редактирование: Объём n-мерного прямоугольника

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Процесс Каратеодори|<<]][[Мера Лебега в R^n|>>]]
 
 
 
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
 
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=
+
|definition=<tex>\Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}</tex>
<tex>\mathbb{R}^n,  \Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка 12: Строка 9:
 
}}
 
}}
  
== Свойства объема прямоугольников в R^n ==
+
Выведем два основных свойства
 
+
==Свойство 1==
Выведем три основных свойства объемов прямоугольников:
 
 
 
=== Свойство 1 ===
 
 
 
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек, <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi</tex>(прямоугольник), тогда <tex>v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>.
+
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек, <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi</tex>(прямоугольник), то <tex>v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
 
|proof=Доказательство основано на следующем тождестве:
 
|proof=Доказательство основано на следующем тождестве:
 
Если дано какое-то разбиение отрезка <tex>a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b</tex>, то  
 
Если дано какое-то разбиение отрезка <tex>a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b</tex>, то  
Строка 29: Строка 22:
 
#Доказать для разбиения на клетки
 
#Доказать для разбиения на клетки
 
#Обобщить
 
#Обобщить
 
+
#??????
{{TODO|t=Неплохо бы написать полное доказательство здесь, хотя казалось бы оно очевидное}}
+
#Доказательство!
 
}}
 
}}
  
===Свойство 2===
+
==Свойство 2==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек и <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi</tex>.
 
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек и <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi</tex>.
 
Тогда <tex>v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
 
Тогда <tex>v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
|proof=
+
|proof=Для доказательства заметим, что легко понять, что совокупность прямоугольников {{---}} полукольцо множеств(аксиомы проверяются непосредственно). Поэтому, данная формула доказывается по аналогии меры в полукольце, но вместо <tex>\sum\limits^\infty</tex> {{---}} <tex>\sum\limits^n</tex>
Для доказательства заметим, что совокупность прямоугольников {{---}} полукольцо множеств(аксиомы проверяются непосредственно). Поэтому, данная формула доказывается по аналогии меры в полукольце, но вместо бесконечной суммы здесь используется конечная.
 
{{TODO|t=Доказать}}
 
 
}}
 
}}
  
===Свойство 3===
+
==Свойство 3==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> {{---}} прямоугольники, <tex>\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j</tex>. Тогда <tex>v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
+
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> {{---}} прямоугольники, <tex>\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j</tex>. Тогда <tex>v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^p\Pi_j</tex>
|proof=
 
Это свойство тоже доказывается аналогично соответствующему свойству меры в полукольце.
 
{{TODO|t=Доказать}}
 
 
}}
 
}}
  
 
==Ячейки==
 
==Ячейки==
Хотя совокупность всех прямоугольников и является полукольцом, целесообразно его заузить, а именно:
+
Хотя совокупности прямоугольников {{---}} полукольцо, целесообразно его заузить, а именно:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\bar a = (a_1, \ldots, a_n)</tex>, <tex>\bar b = (b_1, \ldots, b_n)</tex>. Тогда ячейка <tex>[\overline a; \overline b) = [a_1; b_1) \times \cdots \times [a_n; b_n)</tex>.
+
|definition=Пусть <tex>\bar a = (a_1, \ldots, a_n)</tex>, <tex>\bar b = (b_1, \ldots, b_n)</tex>. Тогда ячейка <tex>[a; b) = [a_1; b_1) \times \cdots \times [a_n; b_n)</tex>
 
}}
 
}}
 
Следующие утверждения проверяются непосредственно:
 
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 64: Строка 50:
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Разность ячеек {{---}} объединение двух (вообще, конечного числа) дизъюнктных ячеек
+
|statement=Разность ячеек {{---}} объединение двух дизъюнктных ячеек
 
}}
 
}}
  
Строка 71: Строка 57:
 
}}
 
}}
  
Но ячеек, так сказать, меньше, чем прямоугольников.
+
Но их, так сказать, меньше, чем прямоугольников.
  
Далее символом <tex> \mathcal{R} </tex> будем обозначать полукольцо ячеек.
+
{{Определение
 +
|definition=<tex>\mathcal{R}</tex> {{---}} полукольцо ячеек
 +
}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=<tex>v(\Pi)</tex> {{---}} конечная полуаддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex> в силу свойств <tex> v </tex>.
+
|statement=<tex>v(\Pi)(<tex>\Pi</tex> {{---}} ячейка)</tex> {{---}} конечно-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>
 
}}
 
}}
  
 
==Мера на множестве ячеек==
 
==Мера на множестве ячеек==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Объём ячейки {{---}} <tex>\sigma</tex>-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>, то есть, мера на этом множестве.
+
|statement=Объём ячейки {{---}} <tex>\sigma</tex>-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>, то есть, является мерой на этом множестве.
|proof=
+
|proof=Доказательство будет основано на том, что если в <tex>\mathbb{R}^n</tex> ограниченное замкнутое множество содержится в некотором объединении открытых множеств, то из такого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Это свойство компактности.
Доказательство будет основано на том, что если в <tex>\mathbb{R}^n</tex> ограниченное замкнутое множество содержится в некотором объединении открытых множеств, то из такого покрытия можно выделить конечное подпокрытие (это верно, так как <tex> \mathbb {R} ^n </tex> — компакт).
 
  
 
<tex>\Pi = \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j</tex> {{---}} дизъюнктны. Нужно доказать, что <tex>v(\Pi) = \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j)</tex>.
 
<tex>\Pi = \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j</tex> {{---}} дизъюнктны. Нужно доказать, что <tex>v(\Pi) = \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j)</tex>.
Строка 111: Строка 98:
 
}}
 
}}
  
Однако, после замыкания множество становится компактом.
+
Однако, после замыкание множество становится компактом.
  
 
<tex>\Pi^c \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o</tex>
 
<tex>\Pi^c \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o</tex>
  
В силу свойства компактов, из получившегося покрытия выбираем конечное подпокрытие:
+
В силу свойства компактов из получившегося покрытия выбираем конечное подпокрытие
  
 
<tex>\Pi\subset\Pi^c\subset\bigcup\limits_{k=1}^p\Pi_{j_k}^o</tex>
 
<tex>\Pi\subset\Pi^c\subset\bigcup\limits_{k=1}^p\Pi_{j_k}^o</tex>
  
По третьему свойству объёма, <tex>v(\Pi) = v(\Pi^c) \leq \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}^o) < \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}) + \sum\limits_{k=1}^p \frac\varepsilon{2^{j_k}}</tex> <tex>\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) + \varepsilon</tex>.  
+
По третьему свойству объёма, <tex>v(\Pi) = v(\Pi^c) \leq \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}^o) < \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}) + \frac\varepsilon{2^{j_k}}</tex><tex>\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) + \varepsilon</tex>.  
  
При <tex> \varepsilon \rightarrow 0 </tex>, <tex>\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) </tex>, обратное неравенство установлено, и корректность определения меры доказана.
+
Обратное неравнство установлено
 
}}
 
}}
 
[[Процесс Каратеодори|<<]][[Мера Лебега в R^n|>>]]
 
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 
{{В разработке}}
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)