Объём n-мерного прямоугольника — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(прочитать, исправить)
 
м (надеюсь, кто-нибудь когда-нибудь допилит эту статью)
 
(не показано 10 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Процесс Каратеодори|<<]][[Мера Лебега в R^n|>>]]
 +
 
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
 
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex>\Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}</tex>
+
|definition=
 +
<tex>\mathbb{R}^n,  \Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 9: Строка 12:
 
}}
 
}}
  
Выведем два основных свойства
+
== Свойства объема прямоугольников в R^n ==
==Свойство 1==
+
 
 +
Выведем три основных свойства объемов прямоугольников:
 +
 
 +
=== Свойство 1 ===
 +
 
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек, <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi</tex>(прямоугольник), то <tex>v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
+
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек, <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi</tex>(прямоугольник), тогда <tex>v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>.
 
|proof=Доказательство основано на следующем тождестве:
 
|proof=Доказательство основано на следующем тождестве:
 
Если дано какое-то разбиение отрезка <tex>a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b</tex>, то  
 
Если дано какое-то разбиение отрезка <tex>a=x_0<x_1<\cdots<x_m=b</tex>, то  
Строка 22: Строка 29:
 
#Доказать для разбиения на клетки
 
#Доказать для разбиения на клетки
 
#Обобщить
 
#Обобщить
#??????
+
 
#Доказательство!
+
{{TODO|t=Неплохо бы написать полное доказательство здесь, хотя казалось бы оно очевидное}}
 
}}
 
}}
  
==Свойство 2==
+
===Свойство 2===
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек и <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi</tex>.
 
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> попарно не имеют общих внутренних точек и <tex>\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi</tex>.
 
Тогда <tex>v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
 
Тогда <tex>v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
|proof=Для доказательства заметим, что легко понять, что совокупность прямоугольников {{---}} полукольцо множеств(аксиомы проверяются непосредственно). Поэтому, данная формула доказывается по аналогии меры в полукольце, но вместо <tex>\sum\limits^\infty</tex> {{---}} <tex>\sum\limits^n</tex>
+
|proof=
 +
Для доказательства заметим, что совокупность прямоугольников {{---}} полукольцо множеств(аксиомы проверяются непосредственно). Поэтому, данная формула доказывается по аналогии меры в полукольце, но вместо бесконечной суммы здесь используется конечная.
 +
{{TODO|t=Доказать}}
 
}}
 
}}
  
==Свойство 3==
+
===Свойство 3===
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> {{---}} прямоугольники, <tex>\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j</tex>. Тогда <tex>v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^p\Pi_j</tex>
+
|statement=Пусть <tex>\Pi_1, \ldots, \Pi_p</tex> {{---}} прямоугольники, <tex>\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j</tex>. Тогда <tex>v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)</tex>
 +
|proof=
 +
Это свойство тоже доказывается аналогично соответствующему свойству меры в полукольце.
 +
{{TODO|t=Доказать}}
 
}}
 
}}
  
 
==Ячейки==
 
==Ячейки==
Хотя совокупности прямоугольников {{---}} полукольцо, целесообразно его заузить, а именно:
+
Хотя совокупность всех прямоугольников и является полукольцом, целесообразно его заузить, а именно:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\bar a = (a_1, \ldots, a_n)</tex>, <tex>\bar b = (b_1, \ldots, b_n)</tex>. Тогда ячейка <tex>[a; b) = [a_1; b_1) \times \cdots \times [a_n; b_n)</tex>
+
|definition=Пусть <tex>\bar a = (a_1, \ldots, a_n)</tex>, <tex>\bar b = (b_1, \ldots, b_n)</tex>. Тогда ячейка <tex>[\overline a; \overline b) = [a_1; b_1) \times \cdots \times [a_n; b_n)</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 +
Следующие утверждения проверяются непосредственно:
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 50: Строка 64:
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=Разность ячеек {{---}} объединение двух дизъюнктных ячеек
+
|statement=Разность ячеек {{---}} объединение двух (вообще, конечного числа) дизъюнктных ячеек
 
}}
 
}}
  
Строка 57: Строка 71:
 
}}
 
}}
  
Но их, так сказать, меньше, чем прямоугольников.
+
Но ячеек, так сказать, меньше, чем прямоугольников.
  
{{Определение
+
Далее символом <tex> \mathcal{R} </tex> будем обозначать полукольцо ячеек.
|definition=<tex>\mathcal{R}</tex> {{---}} полукольцо ячеек
 
}}
 
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement=<tex>v(\Pi)(<tex>\Pi</tex> {{---}} ячейка)</tex> {{---}} конечно-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>
+
|statement=<tex>v(\Pi)</tex> {{---}} конечная полуаддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex> в силу свойств <tex> v </tex>.
 
}}
 
}}
  
 
==Мера на множестве ячеек==
 
==Мера на множестве ячеек==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Объём ячейки {{---}} <tex>\sigma</tex>-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>, то есть, является мерой на этом множестве.
+
|statement=Объём ячейки {{---}} <tex>\sigma</tex>-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>, то есть, мера на этом множестве.
|proof=Доказательство будет основано на том, что если в <tex>\mathbb{R}^n</tex> ограниченное замкнутое множество содержится в некотором объединении открытых множеств, то из такого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Это свойство компактности.
+
|proof=
 +
Доказательство будет основано на том, что если в <tex>\mathbb{R}^n</tex> ограниченное замкнутое множество содержится в некотором объединении открытых множеств, то из такого покрытия можно выделить конечное подпокрытие (это верно, так как <tex> \mathbb {R} ^n </tex> — компакт).
  
 
<tex>\Pi = \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j</tex> {{---}} дизъюнктны. Нужно доказать, что <tex>v(\Pi) = \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j)</tex>.
 
<tex>\Pi = \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j</tex> {{---}} дизъюнктны. Нужно доказать, что <tex>v(\Pi) = \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j)</tex>.
Строка 98: Строка 111:
 
}}
 
}}
  
Однако, после замыкание множество становится компактом.
+
Однако, после замыкания множество становится компактом.
  
 
<tex>\Pi^c \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o</tex>
 
<tex>\Pi^c \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o</tex>
  
В силу свойства компактов из получившегося покрытия выбираем конечное подпокрытие
+
В силу свойства компактов, из получившегося покрытия выбираем конечное подпокрытие:
  
 
<tex>\Pi\subset\Pi^c\subset\bigcup\limits_{k=1}^p\Pi_{j_k}^o</tex>
 
<tex>\Pi\subset\Pi^c\subset\bigcup\limits_{k=1}^p\Pi_{j_k}^o</tex>
  
По третьему свойству объёма, <tex>v(\Pi) = v(\Pi^c) \leq \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}^o) < \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}) + \frac\varepsilon{2^{j_k}}</tex><tex>\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) + \varepsilon</tex>.  
+
По третьему свойству объёма, <tex>v(\Pi) = v(\Pi^c) \leq \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}^o) < \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}) + \sum\limits_{k=1}^p \frac\varepsilon{2^{j_k}}</tex> <tex>\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) + \varepsilon</tex>.  
  
Обратное неравнство установлено
+
При <tex> \varepsilon \rightarrow 0 </tex>, <tex>\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) </tex>, обратное неравенство установлено, и корректность определения меры доказана.
 
}}
 
}}
 +
 +
[[Процесс Каратеодори|<<]][[Мера Лебега в R^n|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
 +
{{В разработке}}

Текущая версия на 19:08, 24 июня 2012

<<>>


TODO: ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ


Определение:
[math]\mathbb{R}^n, \Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}[/math]


Определение:
[math]v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)[/math] — объём прямоугольника


Свойства объема прямоугольников в R^n[править]

Выведем три основных свойства объемов прямоугольников:

Свойство 1[править]

Утверждение:
Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] попарно не имеют общих внутренних точек, [math]\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi[/math](прямоугольник), тогда [math]v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math].
[math]\triangleright[/math]

Доказательство основано на следующем тождестве: Если дано какое-то разбиение отрезка [math]a=x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_m=b[/math], то

[math]b - a = \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} (x_{k + 1} - x_k)[/math]

Далее доказательство полностью аналогично доказательству для многократного интеграла. План:

  1. Доказать для разбиения на клетки
  2. Обобщить


TODO: Неплохо бы написать полное доказательство здесь, хотя казалось бы оно очевидное
[math]\triangleleft[/math]

Свойство 2[править]

Утверждение:
Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] попарно не имеют общих внутренних точек и [math]\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi[/math]. Тогда [math]v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math]
[math]\triangleright[/math]

Для доказательства заметим, что совокупность прямоугольников — полукольцо множеств(аксиомы проверяются непосредственно). Поэтому, данная формула доказывается по аналогии меры в полукольце, но вместо бесконечной суммы здесь используется конечная.

TODO: Доказать
[math]\triangleleft[/math]

Свойство 3[править]

Утверждение:
Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] — прямоугольники, [math]\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j[/math]. Тогда [math]v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math]
[math]\triangleright[/math]

Это свойство тоже доказывается аналогично соответствующему свойству меры в полукольце.

TODO: Доказать
[math]\triangleleft[/math]

Ячейки[править]

Хотя совокупность всех прямоугольников и является полукольцом, целесообразно его заузить, а именно:


Определение:
Пусть [math]\bar a = (a_1, \ldots, a_n)[/math], [math]\bar b = (b_1, \ldots, b_n)[/math]. Тогда ячейка [math][\overline a; \overline b) = [a_1; b_1) \times \cdots \times [a_n; b_n)[/math].


Следующие утверждения проверяются непосредственно:

Утверждение:
Пересечение ячеек — ячейка
Утверждение:
Разность ячеек — объединение двух (вообще, конечного числа) дизъюнктных ячеек
Утверждение:
Совокупность ячеек — тоже полукольцо

Но ячеек, так сказать, меньше, чем прямоугольников.

Далее символом [math] \mathcal{R} [/math] будем обозначать полукольцо ячеек.

Утверждение:
[math]v(\Pi)[/math] — конечная полуаддитивная функция на [math]\mathcal{R}[/math] в силу свойств [math] v [/math].

Мера на множестве ячеек[править]

Теорема:
Объём ячейки — [math]\sigma[/math]-аддитивная функция на [math]\mathcal{R}[/math], то есть, мера на этом множестве.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство будет основано на том, что если в [math]\mathbb{R}^n[/math] ограниченное замкнутое множество содержится в некотором объединении открытых множеств, то из такого покрытия можно выделить конечное подпокрытие (это верно, так как [math] \mathbb {R} ^n [/math] — компакт).

[math]\Pi = \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j[/math] — дизъюнктны. Нужно доказать, что [math]v(\Pi) = \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j)[/math].

[math]\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j \subset \Pi \Rightarrow [/math] (по второму свойству [math]v[/math]) [math]\sum\limits_{j=1}^p v(\Pi_j) \leq v(\Pi)[/math]

Устремляя [math]p\to\infty[/math], получаем, что [math]\sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) \leq v(\Pi)[/math]

Осталось доказать противоположное неравенство.

[math]v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)[/math]

Если на это величину смотреть как на функцию двух переменных, то она будет непрерывна как произведение непрерывных функций.

Значит, малое отклонение аргумента приведёт к малому изменению значения функции.

[math]\Pi_j \subset \Pi_j^o[/math](открытое). Погружаем [math]\Pi_j[/math] в открытый прямоугольник [math]\Pi_j^o[/math] таким образом, чтобы [math]v(\Pi_j^o) \lt v(\Pi_j) + \frac{\varepsilon}{2^j}[/math]. Это можно сделать по непрерывности [math]v[/math].

В результате получаем, что [math]\Pi\subset\bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o[/math]


Определение:
[math]\Pi^c[/math] — замыкание ячейки [math]\Pi^o[/math]


Утверждение:
Замыкание не изменяет объёма

Однако, после замыкания множество становится компактом.

[math]\Pi^c \subset \bigcup\limits_{j=1}^\infty \Pi_j^o[/math]

В силу свойства компактов, из получившегося покрытия выбираем конечное подпокрытие:

[math]\Pi\subset\Pi^c\subset\bigcup\limits_{k=1}^p\Pi_{j_k}^o[/math]

По третьему свойству объёма, [math]v(\Pi) = v(\Pi^c) \leq \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}^o) \lt \sum\limits_{k=1}^pv(\Pi_{j_k}) + \sum\limits_{k=1}^p \frac\varepsilon{2^{j_k}}[/math] [math]\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) + \varepsilon[/math].

При [math] \varepsilon \rightarrow 0 [/math], [math]\leq \sum\limits_{j=1}^\infty v(\Pi_j) [/math], обратное неравенство установлено, и корректность определения меры доказана.
[math]\triangleleft[/math]

<<>>

Эта статья находится в разработке!