Определение измеримой функции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(прочитать, исправить, структурировать)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 13 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Предельный переход в классе измеримых функций|>>]]
  
{{TODO|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}
+
Будем рассматривать пространство <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>, считаем, что мера <tex> \mu </tex> — <tex> \sigma </tex>-конечная, полная, то есть:
  
{{TODO|t=Achtung! Тут немного пропущено}}
+
<tex> X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p < + \infty </tex>
  
... Используя ту же технику,
+
<tex> \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 </tex>
<tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>E</tex> {{---}} тоже измеримо, <tex>E = \bigcup\limits_{n=1}^\infty E(f < n)</tex>
 
  
Приведём примеры измеримых функций:
+
Пусть <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, будем обозначать как <tex> E (f </tex> обладает свойством <tex> P )</tex> совокупность точек из <tex>E</tex>, для которых свойство <tex> P </tex> верно.
<tex>f(x) = C</tex> на <tex>E</tex>.  
+
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex> a \in \mathbb R </tex>, <tex> E(f < a), E(f \le a), E(f > a), E(f \ge a) </tex> — '''множества Лебега''' функции <tex> f </tex>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex> f : E \rightarrow \mathbb R </tex> называется '''измеримой по Лебегу''', если для любого <tex> a \in \mathbb R </tex> множества Лебега всех четырех типов измеримы (то есть, принадлежат [[Полукольца и алгебры#Алгебра|сигма-алгебре]]).
 +
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|about=
 +
Измеримость по Лебегу
 +
|statement=
 +
Функция измерима по Лебегу на <tex> E </tex> <tex> \iff </tex> для любого <tex> a </tex> измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex> E(f < a) </tex> — измеримо для любого <tex> a </tex>. Установим измеримость остальных:
 +
# <tex> E(f \le a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f < a + \frac1n) </tex> — тоже измеримо, как счётное пересечение измеримых множеств.
 +
# <tex> E(f > a) = \overline{E(f \le a)} </tex> — тоже измеримо.
 +
# <tex> E(f \ge a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f > a - \frac1n) </tex> — аналогично, измеримо.
 +
}}
 +
 
 +
Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости <tex>f</tex> на <tex>E</tex> следует и измеримость самого <tex>E</tex>, <tex>E = \bigcup\limits_{n=1}^\infty E(f < n)</tex>
 +
 
 +
Пример измеримой функции — <tex>f(x) = C</tex> на измеримом <tex>E</tex>.  
  
 
<tex>E(f<a) = \left\{
 
<tex>E(f<a) = \left\{
Строка 19: Строка 43:
 
</tex>
 
</tex>
  
Поэтому, считая <tex>E</tex> измеримым, получаем, что постоянная функция на нём измерима.
+
Так как <tex>E</tex> измеримо, то постоянная функция на нём измерима.
  
Всё это распространяется на <tex>E = \bigcup\limits_p E_p</tex>, <tex>E_p \in \mathcal{A}</tex>
+
Всё это распространяется на <tex>E = \bigcup\limits_p E_p</tex>, <tex>E_p \in \mathcal{A}, E_p </tex> — дизъюнктны.
  
Аналогично измерима на <tex>E</tex>, <tex>f : E \to \mathcal{R}</tex>, <tex>f(x) = a_p, x\in E_p</tex>.
+
Аналогично, измерима на <tex>E</tex> функция <tex>f : E \to \mathbb R </tex>, <tex>f(x) = a_p, x\in E_p</tex>.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 29: Строка 53:
 
|proof=Установим измеримость <tex>F(f\leq a)</tex>.
 
|proof=Установим измеримость <tex>F(f\leq a)</tex>.
  
Проверим, что оно замкнуто <tex>\Rightarrow</tex> измеримо.  
+
Проверим, что оно замкнуто.
 +
 
 +
Рассмотрим последовательность <tex>\bar x_j \in F(f\leq a)</tex>, пусть она сходится к <tex> \bar x </tex>. По определению множества Лебега, <tex>f(\bar x_j) \leq a</tex>.  
  
<tex>\bar x_j \in F(f\leq a)</tex>, <tex>f(\bar x_j) \leq a</tex>, <tex>\bar x_j \to \bar x</tex>, <tex>\bar x_j \in</tex> замкнутое <tex>F</tex>. Значит, предел тоже в <tex>F</tex>. Значит, по непрерывности, <tex>f(\bar x_j) \to f(\bar x)</tex>
+
Так как <tex> F </tex> — замкнутое, и <tex>\bar x_j \in F</tex>, то предел тоже принадлежит <tex>F</tex>. Значит, по непрерывности, <tex>f(\bar x_j) \to f(\bar x)</tex>.
  
Значит, <tex>f(\bar x)\leq a \Rightarrow \bar x \in F(f\leq a)</tex>.
+
По непрерывности <tex> f </tex>, из того, что <tex> f(\bar x_j) \le a </tex>, следует <tex>f(\bar x)\leq a </tex>, то есть, <tex> \bar x \in F(f\leq a)</tex>.  
  
Множество содержит в себе пределы всех сходящихся подпоследовательностей <tex>\Rightarrow</tex> замкнуто. Но замкнутые множества измеримы по Лебегу.
+
Множество содержит в себе пределы всех сходящихся подпоследовательностей, то есть замкнуто. Но, как было установлено ранее, замкнутые множества измеримы по Лебегу.
 
}}
 
}}
  
Строка 44: Строка 70:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=Пусть <tex>f</tex> и <tex>g</tex> измеримы на <tex>E</tex>. Тогда
 
|statement=Пусть <tex>f</tex> и <tex>g</tex> измеримы на <tex>E</tex>. Тогда
1 <tex>|f|</tex> {{---}} измерима
+
1) <tex>|f|</tex> {{---}} измерим <br>
1.5 <tex>af</tex> {{---}} измеримо (<tex>a \in \mathbb{R}</tex>)
+
1.5) <tex>kf</tex> {{---}} измерима (<tex>k \in \mathbb{R}</tex>) <br>
2 <tex>f^2</tex> {{---}} измеримо
+
2) <tex>f^2</tex> {{---}} измерим <br>
4 <tex>fg</tex> {{---}} измеримо
+
3) <tex>f + g</tex> {{---}} измерима <br>
3 <tex>f + g</tex> {{---}} измеримо
+
4) <tex>f \cdot g</tex> {{---}} измеримо <br>
|proof=Пункт 4 вытекает из прошлых: <tex>fg = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4}</tex>
+
|proof=
 +
1 и 2) доказываются одинаково. Рассмотрим, например, <tex>E(f^2<a)</tex>.
 +
 
 +
При <tex>a\geq 0</tex> оно может быть непустым. Но это равносильно <tex>E(-\sqrt{a} < f < \sqrt{a}) = E(-\sqrt{a} < f) \cap E(f<\sqrt{a})</tex>.
  
1 и 2 доказываются одинаково. Например,
+
Это пересечение двух измеримых множеств Лебега <tex>\Rightarrow</tex> измеримо.
  
<tex>E(f^2<a)</tex>. При <tex>a\geq 0</tex> оно может быть непустым. Но это равносильно <tex>E(-\sqrt{a} < k < \sqrt{a}) = E(-\sqrt{a} < x) \cap E(x<\sqrt{a})</tex>
+
1.5) Если <tex> k = 0 </tex> , то <tex> f = 0 </tex> и она измерима как постоянная.
  
Это пересечение двух измеримых множеств Лебега <tex>\Rightarrow</tex> измеримо.
+
Если <tex> k > 0 </tex>, то <tex> E(kf > a) = E(f > \frac{a}{k}) </tex>, если же <tex> k < 0 </tex>, то <tex> E(kf > a) = E(f < \frac{a}{k}) </tex>. Так как <tex> f </tex> — измеримо, эти множества Лебега тоже измеримы.
  
Пункт 3 доказывать чуть сложнее
+
3) Доказывается чуть сложнее
  
 
<tex>f(x) + g(x) > a \iff g(x) > a - f(x)</tex>
 
<tex>f(x) + g(x) > a \iff g(x) > a - f(x)</tex>
Строка 65: Строка 94:
 
Тогда <tex>E(f + g>a) = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{Q}}(E(g>r) \cap E(f > a - r))</tex>
 
Тогда <tex>E(f + g>a) = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{Q}}(E(g>r) \cap E(f > a - r))</tex>
  
Справа измеримое множество Лебега функций <tex>f</tex> и <tex>g</tex>. Операций счётно. Значит, <tex>f+g</tex> тоже измеримо
+
Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, операций — счётное число. Значит, <tex>f+g</tex> тоже измеримо.
 +
 
 +
4) Вытекает из прошлых: <tex>f \cdot g = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4}</tex>
 
}}
 
}}
 +
 +
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Предельный переход в классе измеримых функций|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 19:39, 4 сентября 2022

на главную << >>

Будем рассматривать пространство [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math], считаем, что мера [math] \mu [/math][math] \sigma [/math]-конечная, полная, то есть:

[math] X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p \lt + \infty [/math]

[math] \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 [/math]

Пусть [math] E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R [/math], будем обозначать как [math] E (f [/math] обладает свойством [math] P )[/math] совокупность точек из [math]E[/math], для которых свойство [math] P [/math] верно.


Определение:
[math] a \in \mathbb R [/math], [math] E(f \lt a), E(f \le a), E(f \gt a), E(f \ge a) [/math]множества Лебега функции [math] f [/math].


Определение:
[math] f : E \rightarrow \mathbb R [/math] называется измеримой по Лебегу, если для любого [math] a \in \mathbb R [/math] множества Лебега всех четырех типов измеримы (то есть, принадлежат сигма-алгебре).


Утверждение (Измеримость по Лебегу):
Функция измерима по Лебегу на [math] E [/math] [math] \iff [/math] для любого [math] a [/math] измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] E(f \lt a) [/math] — измеримо для любого [math] a [/math]. Установим измеримость остальных:

  1. [math] E(f \le a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f \lt a + \frac1n) [/math] — тоже измеримо, как счётное пересечение измеримых множеств.
  2. [math] E(f \gt a) = \overline{E(f \le a)} [/math] — тоже измеримо.
  3. [math] E(f \ge a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f \gt a - \frac1n) [/math] — аналогично, измеримо.
[math]\triangleleft[/math]

Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости [math]f[/math] на [math]E[/math] следует и измеримость самого [math]E[/math], [math]E = \bigcup\limits_{n=1}^\infty E(f \lt n)[/math]

Пример измеримой функции — [math]f(x) = C[/math] на измеримом [math]E[/math].

[math]E(f\lt a) = \left\{ \begin{aligned} E &, C \lt a \\ \varnothing &, C \geq a \end{aligned} \right. [/math]

Так как [math]E[/math] измеримо, то постоянная функция на нём измерима.

Всё это распространяется на [math]E = \bigcup\limits_p E_p[/math], [math]E_p \in \mathcal{A}, E_p [/math] — дизъюнктны.

Аналогично, измерима на [math]E[/math] функция [math]f : E \to \mathbb R [/math], [math]f(x) = a_p, x\in E_p[/math].

Утверждение:
Пусть [math]F \subset \mathbb{R}^n[/math] — замкнутое множество, в [math]\mathbb{R}^n[/math] есть мера [math]\lambda[/math]. Тогда непрерывная функция [math]f : F \to \mathbb{R}[/math] — измерима.
[math]\triangleright[/math]

Установим измеримость [math]F(f\leq a)[/math].

Проверим, что оно замкнуто.

Рассмотрим последовательность [math]\bar x_j \in F(f\leq a)[/math], пусть она сходится к [math] \bar x [/math]. По определению множества Лебега, [math]f(\bar x_j) \leq a[/math].

Так как [math] F [/math] — замкнутое, и [math]\bar x_j \in F[/math], то предел тоже принадлежит [math]F[/math]. Значит, по непрерывности, [math]f(\bar x_j) \to f(\bar x)[/math].

По непрерывности [math] f [/math], из того, что [math] f(\bar x_j) \le a [/math], следует [math]f(\bar x)\leq a [/math], то есть, [math] \bar x \in F(f\leq a)[/math].

Множество содержит в себе пределы всех сходящихся подпоследовательностей, то есть замкнуто. Но, как было установлено ранее, замкнутые множества измеримы по Лебегу.
[math]\triangleleft[/math]

Вывод: класс непрерывных функций содержится в классе измеримых.

Следует обратить внимание, что столь простые рассуждения проходят по той причине, что мы не интересуемся тем, как устроены множества Лебега. Нас интересует только одно их свойство — принадлежность [math]\mathcal{A}[/math]. Природа этих множеств может быть крайне сложной.

Теорема:
Пусть [math]f[/math] и [math]g[/math] измеримы на [math]E[/math]. Тогда

1) [math]|f|[/math] — измерим
1.5) [math]kf[/math] — измерима ([math]k \in \mathbb{R}[/math])
2) [math]f^2[/math] — измерим
3) [math]f + g[/math] — измерима

4) [math]f \cdot g[/math] — измеримо
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1 и 2) доказываются одинаково. Рассмотрим, например, [math]E(f^2\lt a)[/math].

При [math]a\geq 0[/math] оно может быть непустым. Но это равносильно [math]E(-\sqrt{a} \lt f \lt \sqrt{a}) = E(-\sqrt{a} \lt f) \cap E(f\lt \sqrt{a})[/math].

Это пересечение двух измеримых множеств Лебега [math]\Rightarrow[/math] измеримо.

1.5) Если [math] k = 0 [/math] , то [math] f = 0 [/math] и она измерима как постоянная.

Если [math] k \gt 0 [/math], то [math] E(kf \gt a) = E(f \gt \frac{a}{k}) [/math], если же [math] k \lt 0 [/math], то [math] E(kf \gt a) = E(f \lt \frac{a}{k}) [/math]. Так как [math] f [/math] — измеримо, эти множества Лебега тоже измеримы.

3) Доказывается чуть сложнее

[math]f(x) + g(x) \gt a \iff g(x) \gt a - f(x)[/math]

Базируясь на том,что [math]\mathbb{Q}[/math] всюду плотно на оси, [math]\exists r \in \mathbb{Q} : g(x) \gt r \gt a - f(x)[/math]

Тогда [math]E(f + g\gt a) = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{Q}}(E(g\gt r) \cap E(f \gt a - r))[/math]

Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций [math]f[/math] и [math]g[/math], операций — счётное число. Значит, [math]f+g[/math] тоже измеримо.

4) Вытекает из прошлых: [math]f \cdot g = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

на главную << >>