Определение ряда Фурье — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(L_p)
Строка 1: Строка 1:
 +
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 +
|+
 +
|-align="center"
 +
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|
 +
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 +
 +
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 +
 +
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 +
 +
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 +
 +
''Антивоенный комитет России''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 +
|}
 +
 
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]][[Интеграл Дирихле|>>]]
 
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]][[Интеграл Дирихле|>>]]
  

Версия 07:10, 1 сентября 2022

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.

Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.

Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.

Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.

Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

на главную <<>>

L_p

Определение:
[math] L_p, (p \ge 1) [/math] — совокупность [math] 2\pi [/math]-периодических функций, суммируемых с [math] p [/math]-й степенью на промежутке [math] Q = [-\pi, \pi] [/math].

То есть,

[math]L_p = \{ f \mid f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \} [/math].


Определение:
Систему функций [math] 1,\ \cos x,\ \sin x,\ldots \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)[/math] называют тригонометрической системой функций.

Каждая из этих функций ограниченная, [math] 2\pi [/math]-периодическая, следовательно, все функции принадлежат [math]L_p[/math].

Заметим, что, из-за [math] 2\pi [/math]-периодичности, [math] \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 [/math].

Утверждение:
При [math] n \ne m [/math] :

[math] \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0[/math],

[math] \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi [/math].
[math]\triangleright[/math]
Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как [math] \cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx) [/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Тригонометрическим рядом называется ряд:

[math]\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)[/math].

Если, начиная с какого-то места, [math] c_n = d_n = 0 [/math], то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом.


Замечание (предел в пространстве [math]L_1[/math]): если [math]f_n, f \in L_1[/math], то [math] f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n \iff \int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math].


Теорема:
Пусть тригонометрический ряд [math] \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) [/math] сходится в [math] L_1 [/math] и имеет суммой функцию [math] f [/math]. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье: [math] a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Формула для [math] a_0 [/math] очевидна.

Пусть [math] S_n(x) = \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n} (a_k \cos kx + b_k \sin kx) [/math].

По условию, [math] \int\limits_{Q} | f(x) - S_n(x) | dx \rightarrow 0 [/math]. Зафиксируем некоторое натуральное [math] p [/math]:

[math] | \int\limits_{Q} (f(x) - S_n(x)) \cos px dx | \le \int\limits | f(x) - S_n(x) | dx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 [/math].

Значит, [math] \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx - \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx \rightarrow 0 [/math].

Если [math] n \gt p [/math], то [math] \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx = \int\limits_{Q} a_p \cos^2 px dx = \pi a_p [/math].

Значит, [math] \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx = a_p [/math].

Аналогично доказывается формула для [math] b_p [/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Пусть функция [math] f \in L_1 [/math]. Ряд Фурье [math] f [/math] — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье.


Колмогоров построил пример суммируемой [math] 2\pi [/math]-периодической функции, ряд Фурье которой расходится в каждой точке. Отсюда возникает круг проблем, которые связаны с поиском условий, гарантирующих сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке. Это тем более важно, учитывая, что существуют непрерывные [math] L_p [/math]-функции, ряды которых расходятся в бесконечном числе точек.

Карлесон доказал, что для функций из [math] L_2 [/math] (а такие функции автоматически [math]\in L_1[/math]) ряд Фурье сходится почти всюду.

Если функция является [math] 2T [/math]-периодической, то для нее соответствующей тригонометрической системой будет [math] 1,\ \cos \frac{\pi}{T} x,\ldots \sin \frac{\pi}{T} x,\ \cos \frac{\pi}{T} nx,\ \sin \frac{\pi}{T} nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)[/math].

Пусть [math] f(x) [/math] определена и суммируема на [math] [0; a] [/math]. Тогда, продолжая ее периодически тем или иным способом на всю ось, мы будем получать разные ряды Фурье:

  1. [math] T = a [/math], на [math] [-a; 0] [/math] продолжаем [math] f [/math] как четную функцию. Тогда [math] a_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \cos \frac{\pi}{T}nx dx,\ b_n = 0 [/math], ряд Фурье выглядит как [math] \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos \frac{\pi}{T}nx [/math].
  2. [math] T = a [/math], на [math] [-a; 0] [/math] продолжаем [math] f [/math] как нечетную функцию. В этом случае [math] a_n = 0,\ b_n = \frac2T \int\limits_{[0;T]} f(x) \sin \frac{\pi}{T}nx dx [/math], ряд Фурье имеет вид [math] \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \sin \frac{\pi}{T}nx [/math].
  3. [math] 2T = a [/math], здесь присутствуют все члены ряда.

Итак, если [math] f [/math] задана на [math] [0; a] [/math], то на этом участке ее можно представлять различными рядами Фурье.

на главную <<>>