262
правки
Изменения
м
→Ортогональность в евклидовом пространстве
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex>x \bot x_1, x_2...x_k</tex>. Тогда <tex> x \bot \forall </tex> ЛК линейной комбинации <tex> \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i</tex>, то есть <tex>x \bot x_i, \ (i=1..k)</tex>
|proof=
<tex> \left \langle \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \left \langle x_i;x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^i \overline{\left \langle x;x_i \right \rangle}=0 </tex>
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>L - </tex> пп подпространство унитарного лп линейного пространства <tex>E</tex>, тогда говорят, что <tex>x \bot L </tex>, если <tex>x \bot \forall y \in L </tex>
}}
{{Определение
|definition=
Подпространство <tex>M=\{</tex> все <tex>x \in E: \ x \bot L \}</tex> называется ортогональным дополнением к <tex>L</tex> в <tex>E</tex>, обозначается <tex>M=L^ \bot </tex>
}}
{{Теорема
|statement=
Если в наборе векторов <tex> \{x_i\}_{i=1}^{k}</tex> и , <tex>x_i \bot x_j (i \ne j)</tex>, тогда набор<tex> \{x_i\}_{i=1}^{k} - </tex> ЛНЗ
|proof=
Предположим, что <tex> \sum\limits_{i=1}^{k} \alpha^ix_i=0_E \Rightarrow \alpha^1=...= \alpha_k=0</tex> (доказать).
2) <tex>i=j \Rightarrow \left \langle x_i;x_j \right \rangle \ne 0 \Rightarrow \alpha^j=0</tex>
}}
NB: <tex>k \leqslant n =\dim E</tex>
{{Теорема
